第3讲 极坐标与参数方程讲义-2023届陕西省高三文科数学二轮专题复习

2023年高考数学二轮复习专题 第3讲 极坐标与参数方程（选考内容） 要点回扣 1． 平面直角坐标系中的伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： 的作用下，点P(x，y)对应到点 ，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． 二．平面极坐标系与坐标互化 1.平面极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做 ；自极点O引一条射线Ox，叫做 ；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 ． 2.点的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 ，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的 ，记为M ． 3.直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 , 4．几个特殊的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsin_θ＝b．(5)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(6)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；(7)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ． 三.参数方程和普通方程的互化 1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过 ，从参数方程得到普通方程． 2.如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的 保持一致． 3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝k(x－x0) 圆 (x－x0)2＋(y－y0)2＝R2 椭圆 ＋＝1(a>b>0) 抛物线 y2＝2px(p>0) 4．直线的参数方程有两种形式：(1)直线的参数方程的标准式：(t为参数)．这里P(x，y)是直线上任意一点，P0(x0，y0)是直线上一定点，α是直线的倾斜角，α∈[0，π)， ＝||. 说明：①只有在标准式中，t才有这样的几何意义；②设A，B为直线上任意两点，它们对应的参数值分别为t1，t2，则(Ⅰ)|AB|＝；(Ⅱ)线段AB的中点对应的参数值为. (2)直线的参数方程的一般形式：(t为参数)． 说明：①k＝(k为斜率)；②t不具有标准式中的几何意义；③当a2＋b2≠1时，一般式可化为标准式： 此时t具有标准式中t的几何意义，所以＝，＝·. 典例精析 考向1：极坐标与直角坐标系互化问题 【例1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 【变式训练1】已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 考向2：平面极坐标系的应用 【例2】在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程； (2)求曲线C2上的点到直线C3：ρcos＝的距离的最大值． 【变式训练2】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； (2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 考向3：极坐标系下极径的几何意义的应用 【例3】在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D. (1)求曲