第2讲 平面向量与解三角形讲义-2023届陕西省高三文科数学二轮专题复习

2023年高考数学二轮复习专题 第2讲 平面向量与解三角形 要点回扣 一．向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ．(2)零向量：长度为 的向量，其方向是 ．(3)单位向量：长度等于 的向量其方向是 ．(4)平行向量：方向 的非零向量，又叫其方向是 ，规定： 与任一向量共线．(5)相等向量：长度 且方向 的向量．(6)相反向量：长度 且方向 的向量． 二.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 三．.两个向量共线定理：向量b与 向量a共线的充要条件:是有且只有一个实数λ，使得 ． 四．平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个 的向量，那么该平面内的任一向量a， 的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式． 五．平面向量的数量积运算 1．向量的夹角：(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则 . (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b ；若θ＝180°，则a与b ；若θ＝90°，则a与b ． 2．向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义： 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作 ，即a·b＝ ． (2)几何意义：投影： 叫作向量b在a方向上的投影，投影可正可负也可为零 (3)向量数量积的性质：①a·a＝ ，|a|＝ ；②a⊥b⇔ ；③cosθ＝ (|a||b|≠0)； (4)数量积的运算律：①交换律：a·b＝ .②分配律：(a＋b)·c＝ .③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．数量积运算不满足结合律 六．平面向量的坐标运算： (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ . (2)向量坐标的求法：①一个向量的坐标等于向量 的坐标减去 的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ . （3）数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a·b＝ ；②a⊥b⇔ ；③|a|＝ ；④cos θ＝ . 七．三角形的有关性质：(1)在△ABC中，A＋B＋C＝ ；(2)a＋b c，a－b c；(3)a>b⇔sin A sin B⇔A B；(4)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔ 或 ⇔三角形为 三角形；（5）sin(A＋B)＝ ，sin ＝ . 八．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 变形 形式 ①a＝ ，b＝ ，c＝ ； ②sinA＝ sinB＝ sinC＝ ； ③a∶b∶c＝ ； ④＝ =2R cos A＝ ；cos B＝ ； cos C＝ 解决 的问题 ①