第21讲 数列通项与求和讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第21讲数列的通项与求和 一，基础知识回倾 1.数列通项的求法 (1)观察法：若给出了数列的前几项，可用观察法求通项公式. (2)公式法：若数列{a}是等差（比）数列，可代入通项公式求解 (3)根据相邻两项的关系求通项公式： ①累加法：己知a,且a+1一a,=f(m)(f(n)可求和)，可用累加法。 ②累积法：已知a1,且an十1an=f(n)(f(n可求积)，可用累积法 ③构造法：a.已知a1且an+1=gan十b,则an+1十k=q(an十k)(其中k可由待定系数法确定)， 可转化为等比数列{an十k}.b.形如a+1=AanBan-十C(A,B,C为常数)的数列，可通过两边 同时取倒数的方法构造新数列求解. (4)利用S,与an的关系：可根据an= 求通项公式，注意：应用a,=S,一S,-1时常 常忽略n≥2这个条件，只有当n=1时a1=S.求解后单独验证a1是否符合a,=S,一Sn-1, 若符合a即为通项公式，否则要用分段函数表示. 2.常见数列求和方法 (1)公式求和法：适用于等差和等比数列 (2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列： (3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只 剩有限项再求和，常见的拆项公式有： ①1n(n+1)=；②1(2m-1)(2n+1)= :3- n+l+√n (④)错位相减发：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和， 3.常见数列的前n项和： (1)1+2+3+…+n= (2)2+4+6+…+2如= (3)1+3+5+…+(2如-1)= 二，典例精析 题型一：求数列的通项 例1：已知a=1且an+1=an十2n十1，求数列{a}的通项公式. 变式训练1：在数列a,中，=3，a=,，求a的通项公式 题型二：构造法求通项公式 例2：已知数列{an}中，a1=1,an+1=2anan十2，则数列(anJ的通项公式an= 变式训练2：已知数列{aJ满足a1=1,a+1=3a十2，求数列{aJ的通项公式. 题型三：由a与S的关系求通项a(高频考点) 例3：(1)已知数列{an的前n项和为Sn若Sn=2-3,求数列[an}的通项公式 (2)已知数列(aJ的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= 变式训练3：(1)若数列{a}的前n项和S,=-n十1，则它的通项公式an= (2)若数列(a)的前n项和S,=23an十13，则{a}的通项公式是a= 题型四：分组求和法 例4：已知{a}是等差数列，bJ是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b. (1)求{a}的通项公式：(2)设cn=an十b,求数列{cnJ的前n项和. 变式训练3：己知等比数列(a}中，首项a1=3,公比q>1,且3(a+2十an)一10an+1=0n∈ N). (1)求数列(an的通项公式： ②设b.+3a 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bJ的通项公式和前n项和S 题型五：裂项相消求和法 例5：已知等差数列{an}中，2a2十g+as=20,且前10项和S1o=100. (1)求数列(an的通项公式；(2)若b,=1anan+1,求数列(b的前n项和l. 变式训练5：Sn为数列{aJ的前n项和.已知an>0,2n+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式；(2)设b,=1anan+1,求数列{bn}的前n项和， 题型六：错位相减求和法 例6：已知等差数列{an的前n项和S,满足S3=6,Ss=15. 求a的通项公式：②)设=是，求数列的前n项和1。 变式训练6：已知数列{anJ的前n项和为Sn,a=1,a+1=2Sn十1(n∈N),等差数列b}中， 公差d=2,且b1十b2+bs=15.(1)求数列{aJ、[b}的通项公式： (2)求数列(an·b,}的前n项和Tm 三.方法规律总结 1,用观察法求数列的通项公式的技巧：(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意 观察每一项的特点，观察出项与之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转 化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化，可用（一1）或（一1）+1米调整. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含若“从特殊到一般” 的思想. 2.已知Sn求a的三个步骤：(1)先利用a=S:求出a1.(2)用n一1(n≥2)替换Sn中的n得 到一个新的关系，利用an=Sn一S.-1(n≥2)便可求出当≥2时a2的表达式.(3)对n=1时 的结果进行检验，看是否符合n≥2时a的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合 写：如果不符合，则应该分n=1与n≥2两段来写， 3.由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法.形如a