第19讲 等差数列及其前n项和讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第19讲等差数列及其前n项和 一，基础知识回顾 1.等差数列的定义 (1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项减去前一项所得的差都等于 那么这个数列就叫做等差数列.其中同一个常数叫作等差数列的，用符号表示。 (2)符号语言： (n∈N). 2.等差数列的通项公式：若等差数列{aJ的首项为a,公差为d,则其通项公式为an= 3.等差中项：如果三个数a,A,b成数列，则A叫a和b的等差中项，且有A= 4.等差数列的前n项和公式：(1)Sn= ,(2)Sn= 5.等差数列的性质：已知数列{am}是等差数列，Sn是其前n项和。 (1)通项公式的推广：a=」 _(n,m∈N. (2)若m+n=p+q(m,n,p,9∈N),则 (3)若bm}是等差数列，则pan十qbn}也是 (4)等差数列{a)中依次每m项的和仍成 _,即Sa、Sam-Sn、Sa-S2m…仍成】 (5)单调性：d>0为数列：d=0为列：d<0数列。 二，典例精析 题型一：数列中的基本量的计算 例1：(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S1=22,a4=-12,若am=30,则m= (2)在数列{a}中，若a1=-2,且对任意的n∈N有2a.+1=1十2a,则数列{a}前10项的 和为 变式训练1：(1)已知等差数列{a,其中a1=13,a2十as=4,an=33,则n的值为 (2)设S.为等差数列{anJ的前n项和，a12=一8，Sg=一9，则S16= 题型二：等差数列的性质 例2：(1)已知等差数列{a}的公差为d(d≠0)，且ag十a6十ao十a13=32.若a=8,则m= (2)等差数列{aJ中，3(a十as)十2(a,十a1o十a3)=24,则该数列前13项的和是= (3)设等差数列{a}的前n项和为Sn·若Sg=9,S6=36,则a?+ag十a= 变式训练2：(1)在等差数列{a}中，若ag十a4十as十a6十ar=25,则a2十ag (3)已已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且S1a=10,S2o=30,则S30=. 题型三：等差数列的判定 例3：已知数列{an}中，a1=2,an=2-1an-1(n≥2，n∈N*),设b.=1an-1(n∈w). (1)求证：数列b]是等差数列.(2)求数列{a}的通项公式 变式训练3：己知数列{a,J满足a1=1,且a+1-(n+1)an=22+2n. (1)求，ag:(2)证明数列{am}是等差数列，并求{a,}的通项公式. 题型四：等差数列中的最值问题 例4：在等差数列(an}中，已知a1=20,前n项和为Sn,且So=S5,求当n取何值时，Sn取 得最大值，并求出它的最大值， 变式训练4：已知在等差数列{a}中，a1=31,Sn是它的前n项和，S1o=Sa (1)求S:(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值. 三，方法规律总结 1.辨明两个易误点(1)要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起，而 是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列. (2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别. 2.妙设等差数列中的项：若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a一d,a,a十d: 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a一d,a十d,其余各项再依据等差数列的定义进 行对称设元. 3.等差数列基本运算的解题方法：(1)等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量 a1,an,d,n,S,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题， (2)数列的通项公式和前n项和公式在解趣中起到变量代换作用，而a:和d是等差数列的两 个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 4.等差数列的性质：(1)项的性质：在等差数列(a)中，an一an=(m一nd一am一anm一n=d (m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,a)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的 性质：在等差数列{an》中，Sn为其前n项和，则①S2m=n(a1十a2m)==n(an十an+i)；②S-1 =(2知-1）am 5.求等差数列前n项和S最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2十bn,通过配方或借助图象求二次 函数最值的方法求解.(2)邻项变号法：①当a1>0,dK0时，满足am≥0am十1≤0)的项数m 使得Sn取得最大值为S.:②当a1<0,d>0时，满足am≤0am十1≥0)的项数m使得Sn取得最 小值为S. 6.等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an+1一an=d(d是常数)一{a,}是等差数列。 (2)等差中项法：2an+1=an十a+2(n∈N)~{an}是等差数列.(3》通项公式：an=pn十qp,q 为常数)⊙〔anJ