第18讲 解三角形讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第18讲解三角形（正余弦定理及其应用） 一，基础知识回顾 1.三角形的有关性质：(1)在△ABC中，A+B+C=;(2)a十bc,a-bc:(3》 a>bosin A sin BoA B:(4)在三角形中有：sin2A=sin2Ba 或 三角形为等腰或直角三角形；(5)sin(A十B)=sin ， sin A++B2=cos 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a2- 内容 =2R b2= c2= 边化角①a=,b=,c= 变形 角化边②sinA=_sinb=_sinC= cos A= ③a:b:c 形式 cos B= 4a+b+csin A+sin B+sin C cos C= =2R ① ① 解决 ② ② 的问题 4.三角形面积公式：S△c=12h= 5.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角（如图①》. 视线 铅 仰角 水平线 的角 视线 南 ① (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. (3)方位角：指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为：（如图②》. (④)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 二，典例精析 题型一：利用正余弦定理解三角形 例1：在△ABC中，(1)若A=45°，B=30°，a=2,求b,c (2)在△ABC中，若a=1,b=1,C=120°求c; 变式训练1：(1)若B=30°，b=5,c=53,求A、C与a (2)已知△ABC中，a:b:c=2:6:(3十1)，求△ABC各内角的度数. 趣型二：利用正余弦定理判定三角形状 例2：在△4BC中，若a2+b2-c2=ab,且2 cos Asin B=sinC,试判断△4BC的形状。 变式训练2：在△4BC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,2 asin A=(2b-c)sinB +(2c-b)sinC.且sinB+sinC=3,试判断△ABC的形状， 题型三：正余弦定理在几何计算中的应用 例3：如图，在△ABC中，B=π3，AB=8,点D在BC边上，且CD=2,cos∠ADC=17. (I)求sin∠B4D: (2)求BD,AC的长， 变式训练3：如图，在△4BC中，已知角B=45°，D是BC边上的一点， AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长. 450 D 题型四：正余弦定理解三角形的实标应用 例4：如图，A,B是海面上位于东西方向相距5(3十3)海里的两个观测点，现位于A点北偏 东45°，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相 距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里时，该救援船到达D点 需要多长时间？ 北 60 北 变式迁移4：某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南 60 偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人 正沿此公路向A走去，走20千米到达D,此时测得CD为21千米，求 此人在D处距A还有多少千米？ 280359 题型五：正余弦定理在处理三角形周长和面积问题 例5：△ABC的三角A,B,C的对边分别为a,b,c满足(2b一c) cos A=acos C. (1)求A的值；(2)若a=2,求△4BC面积的最大值：(3)若a=2,求△4BC周长的取值范围. 变式训练5：在△ABC中，A、B、C的对边分别为a,b,c,面积为S满足S=3)4(a2+b2-c2). (1)求C的值；(2)若a+b=4,求周长的范围与面积S的最大值. 题型六：正余弦定理与其它知识交汇 例6：已知向量m=lavs4 alcol(f32),一snx,n=(1,sinx十3cosx),x∈R,函数x)= mn. (I)求x)的最小正周期及值域： (2)已知△4BC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,若f4)=0,a=3,bc=2,求△4BC 的周长. 变式训练6：已知函数x)=ab,其中a=(2cosx,-3sin2x),b=(cosx,1),x∈R (1)求函数y=x)的单调递减区间： (2)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A)=一1，a=7,且向量m=(3, sinB)与n=(2,sinC共线，求边b和c的值. 三.方法规律总结 1.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用， 要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑 用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明 显时，则要考虑两个定理都有可能用到.. 2.判断三角形的形状，主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦