第17讲 平面向量的数量积及坐标运算讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第17讲平面向量的数量积及坐标运算 一，基础知识回顾 1.两个向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则称作向量a b 和向量b的夹角，记作6. (2)范围：向量夹角8的范围是 (3)向量垂直：如果0=2，则a与b垂直，记作： (4))向量平行：如果9=_或e=_,则a与b平行，记作： 2.向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义： 叫做向量a和b的数量积（或内积），记 作，即ab= 其结果为数量 (2)几何意义：投影： 叫作向量b在a方向上的投影，投影可正可负也可为零 (3)向量数量积的性质：①aa=,a=；②a⊥b÷:③cos0=_albl≠0)： (4数量积的运算律：①交换律：ab=②分配律：(a+b)c=」 ③对人∈R,元 (ab)=(a)b=a(b).注意：数量积运算不满足结合律 4.平面向量的坐标运算： (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(s1,y),b=(,y2),则a十b= a-b= ，九a 一；a= (②)向量坐标的求法：①一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标. ②设A(1,y),B(x2,y2),则=」 (3)平面向量共线的坐标表示：设a=(,y1),b=(2,y2),其中b≠0.a∥b (4)数量积的坐标运算设设a=(81,y),b=(2,y2,则 ①ab= _；②a⊥b- ；③a= _；④cos9= 5.两个重要的充要条件：albe a⊥be 二，典例精析 题型一：平面向量数量积定义的应用 例1：已知a=4,bl=3,(2a-3b)(2a+b)=61. ①求a与b的夹角9：②求a十：)若一=a,一=b,求△ABC的面积. 变式训练2：设e1和e2是两个单位向量，其夹角是60°，求向量m=2e1十e2与n=2e2-3e1 的夹角 题型二：平面向量的坐标运算 例2：若4(-2,4)B3,-1)C(-3,-4设=a,=b,=e且=3c,=-2b, (1)求3a+b一3c;(②)求满足a=mb十nc的实数m,n;(3)求M、N的坐标及向量的坐标. 变式训练2：平面内给定三个向量a=(3,2),b=(一1,2)，c=(4,1),请解答下列问题： (1)若(a+kc∥(2b-a),求实数：(2)若d满足(d-c)∥(a+b),且d-c=5,求d 题型三：平面向量数量积的运算 例3：(1)己知平而向量a=(x1,y),b=(x2,),若|a=2,b=3,a·b=-6,则x1 十y1x2+v2的值为 2)如图，在平行四边形BCD中，已知AB=8,AD=5,一=3， 2,则。的值是 变式训练3：(1)己知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,一1)，D(3,4),则向量在方向上 的投影为 (2)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上， 若.=2，则.的值是 (3)已知向量=(2,2)，=(4,1)，在x轴上存在一点P使·有最小 值，则P点的坐标是() 题型四：平面向量的夹角与模（高颜考点） 例4：(1)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a一3b)⊥c,则实数k=() (2)已知单位向量e1与e2的夹角为a,且cosa=13,向量a=3g-2e2与b=3e-e2的夹 角为B,则cosB= 3)已知点G是△ABC的重心，∠BMC=120°，.=2，则1广+一+的最小值为 变式训练4：(1)己知向量a·(a十2b)=0,a=2,b=2,则向量a,b的夹角为() 2)在△ABC中，设2-广2=2.一，那么动点M的轨迹必通过△ABC的() A.垂心B.内心C.外心D.重心 (3)已知△ABC是正三角形，若a=-A一与向量的夹角大于90°，则实数A的取值范围 是 题型五：向量数量积的综合应用 例5：设向量a=(3sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈[0，π2]， (1)若|a=|b,求x的值：(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值. 变式训练5：在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin (A-B)),n=(cosB,-s1nB),且m·n=-35.(1)求sinA的值： (2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影. 题型六：平面向量与线性规划的交汇 例6：在平面直角坐标系中，0是坐标原点，两定点A,B满足1=|1=.一=2，则点 集P=X一+#一，|A十|H≤1，A,#∈R所表示的区城的面积是() A.22 B.23C.42D.43 变式训练6：已知x,y满足y≥x,x十y≤2，x≥a,若=(Gx,1),=2,,且.的 最大值是最小值的8倍，则实数a的值是 三，方法规律总结 1.若|a=b,则a=b:(2)若=，则a=b;(3)若