第16讲 平面向量的概念及线性运算讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第16讲 平面向量的概念及线性运算 一，基础知识回顾 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 和 向量 具有 的量：向量的大小叫做 向量的长度（或模 如a, 零向量 的向量；其方向 记作」 给定一个非零向量a,与a且模为的 单位向量 向量，叫做向量a的单位向量，可记作 a0= 多 共线（平行）向量 则称这些向量共线或平行 向量a与b 平行记作a∥b 相等向量 的向量 如=a 相反向量 与向量a 叫做a的 相反向量 记作 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 a+b (1)交换律： 加法 求两个向量和的运 三角形法则 a+b= ； 算 2)结合律： 点 a+b (a+b)十c= 平行四边形法则 求a与b的相反向 减法 量一b的和的运算 a-b=a+(-b) 叫做a与b的差 三角形法则 (1)d= (2)当>0时，a的方向 求实数与向量a的 与a的方向；当无 (a)= 数乘 积的运算 <0时，a的方向与a (d十)a= 的方向：当1=0 1a+b)= 时，a= 3.平行向量基本定理：如果a=b,则a∥b:反之，如果a∥b,且b≠0，则 实数， 使a=b 4.平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个的向量，那么该平面内的任一 向量a, 的一对实数41，a2,使a=ag十a2e2.其中，不共线的向量e1,2叫做表示 这一平面内所有向量的一组__，记为一，a%十a2叫做向量a关于基底{，e}的分解 式 二：典例精析： 题型一：平而向量的概念辨析 例1：给出下列命题：①若a=b,则a=:②若A,B,C,D是不共线的四点，则= 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件 是|a=b且a∥b.其中正确命题的序号是 变式训练1：判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上：②单位向量都相等： ③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=一，⑤ 模为0是一个向量方向不确定的充要条件：⑧共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 题型二：向量的线性运算 B 】 例2：如图，以向量=a,=b为邻边作。04DB,一=13， =13,用a,b表示”，二，一 变式训练2：(1)设D,E,F分别为△4BC的三边BC,CA,AB的中点，则十 ②在△4BC中，一=2，=a,一=b,一=6，则下列等式成立的是() A.c=2b-a B.e=2a-b C.c=3a2-b2 D.c=3b2-a2 ③)在△4BC中，已知D是AB边上一点，若=2”，一=13+无广，则=_ 题型三：共线向量定理及应用 例3：设两个非零向量a与b不共线， (①)若=a十b,一=2a十8h,一=3(a-b,求证：A、B、D三点共线： (2)试确定实数k,使ka十b和a+kb共线. 变式训练3：设两个非零向量e和e2不共线， (1)如果=e-e2,=3e+2e2,=-8e1-2e2,求证：A、C、D三点共线： (2)如果=e十2，=2e-3e2,=2e-ke2,且A、C、D三点共线，求k的值. 题型四：平面向量基木定理的应用 例4：已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于从、N两点，且=x, =y,求1x+1y的值. 变式训练4：如图，在△ABC中，一=13，P是N上的一点，若=m+211,求实数m 的值 B 三，方法规律总结 1.将向量用其它向量（特别是基向量）线性表示，是向量坐标形式的基础： 2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线.如∥且AB与CD不共线，则AB∥CD: 若∥，则A、B、C三点共线， 3。解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的 方向：二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 4.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误。 四，课后作业练习 四，课后作业练习 一、选择题 1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量：②两个向量不能比较大小， 但它们的模能比较大小：③入a=0(入为实数)，则入必为零；④入，μ为实数，若入a=Hb, 则a与b共线.其中错误命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.设a,b是向量，命题“若a=-b,则|a曰b1”的逆命题是 () A.若a≠-b,则ab B.若a=-b,则a料b1 C.若1ab,则a≠-b D.若|a曰b1,则a=- 3.如图，正六边形ABCDEF中，十十等于() A.0B. c. D.- 4.设P是△ABC所在平面内的一点，+=2，则( A.+=0B.+=0C.+=0D.++=0 5.如图，已知=a,=b,=3,用a,b表示，则=(B) A