第15讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第15讲 函数y=Asin(ox十中)的图象与性质 一，基础知识回倾 1,y=Asin(ar十p)的有关概念 y=Asin(ox+o)(4-0, 振幅 周期 领率 相位 初相 a>0)x∈[0，+o∞)表 示一个振动量时 2.函数y=Acos(wx十中)的最小正周期为·y=Atan(wx十中)的最小正周期为 3.用五点法画y=Asin(wx+中)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(wx十中)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示 x十中 y=Asin(ax十φ) 4.图象变换：函数y=Asin(or十p)(4>0,o>0)的图象可由函数y=snx的图象作如下变换 得到：(1)相位变换：y=snx→y=snx十w),把y=sinx图象上所有的点向(o≥0) 或向 (00)平行移动 个单位。 (2)周期变换：y=sin(x十p)一y=sin(ar十p),把y=sinx十o)图象上各点的横坐标 (01)或 (o>1)到原来的 倍（纵坐标不变）. (3)振幅变换：y=sin(ox十o)一→y=Asin(ax十o),把y=sin(ax十o)图象上各点的纵坐标 (>1)或 (0<4<1)到原来的倍（横坐标不变）. 5.确定y=Asin(ux+)十b的解析式的步骤：(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值 m,则A=,b=,(2)求u,确定函数的周期T,则u=,(3)求中，常用的方 法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A,w,b已知）或代入图象与直线y b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上），②特殊点法：确定中值 时，往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下：“最大值点”（即图象的“峰点”）时“x 十中=开2：“最小值点”（即图象的“谷点”）时wx十中=3开2. 6.函数y=Asin(x十o)A>0,o>0)性质 (1)单调性： (2)最值： (3)周期： (4)对称性： (5)奇偶性： 二，典例精析 题型一：五点法作图及图象变换 例1：已知函数y=2 sin alvs.4alco(2x十f(r3).(1)求它的振幅、周期、初相： (2)说明y=2 sinlalvs4 alcol(2x十(3)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到 变式迁移1：(1)要得到函数y=sin3x+cos3x的图象可以将函数y=2cos3x的图象() A.向右平移卫4个单位B.向左平移4个单位C.向右平移卫12个单位D向左平移 卫12个单位 (2)将函数x)=sin(ax十o)alws4 alcol(w>0,一f(rr2)图象上每一点的横坐标缩短为原 来的一半，纵坐标不变，再向右平移6个单位长度得到y=snx的图象，则 falvs4 allcolof n 6))= 题型二：由图象确定y=Asin(ox十p)的解析式 例2：(1)已知函数x)=Asin(cr十0)(4>0，w>0,|中<n2)的图象如图所 示，则的解析式为 (2)已知函数x)=Atan(ax+p)aws4 alcol(w>0,||<fr2,y=fx) 的部分图象如图，则favs4 alcol(f(24)=一 变式训练2：(1)如图是函数y=Asin(ax+o)十2(4>0，w>0)的图象的一 部分，它的振幅、周期、初相分别是 (2)若函数y=Asn(x十p)(4>0,w>0,|中K2)在一个周期内的图象如 图所示，从，N分别是这段图象的最高点与最低点，且.=0，则 A·= 题型三：三角函数图象与性质的综合应用 例3：设函数fx)=sinlalvsa4 al.co.1(2+/fπ3)+3)3sinx-3)3cosx (1)求x)的最小正周期及其图象的对称轴： (2)将函数x)的图象向右平移n3个单位长度，得到函数gx)的图象，求 gx)在区间-f(xπ3)上的值域. 变式训练3：已知函数x)=Asin(ax十o)as4 alcol(x∈R,w>0,O中<fn2)的部分图 象如图所示 (1)求函数x)的解析式： (2)求函数gs)=fas4 alcol(x-fr12》-favs4 alcol(x+r12)的单调递增区间. 题型四：三布函数模型的简单应用 例4：如图所示，某地夏天从8一14时用电量变化曲线近似满足函数 y=Asin(wx+中)+b,中∈(0，r). 03红 12 12i度) (1)求这一天的最大用电量及最小用电量： 50 (2)写出这段曲线的函数解析式. 40 30 变式训练4.：某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h)的变化近似满足函数关系： 0=10-3cosr12t-sinr12t,1∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差： (②)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 题型五：三角函数背景