第14讲 三角函数的图像与性质讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

三角函数的图象与性质 一，基础知识回顾 1.角的有关概念：(1)从运动的角度看，角可分为 和 (2)从终边位置来看，角可分为 与 (3)若B与a是终边相同的角，则B用a表示为B= 2.弧度制：(1)定义：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数 是，负角的弧度数是一，零角的弧度数是 (2)角度制和弧度制的互化：180°=一rad,1° rad,1 rad= (3)扇形的弧长公式：1=」 ,扇形的面积公式：S= 3.任意角的三角函数：(1)任意角的三角函数定义：设P(x,y)是角a终边上任一点，且 P0=r(r>0)则有sina=_,cosa=,tana=一，它们是以角为自变量，以比值为函数 值的函数， (2)三角函数在各象限内的正值口诀是：正弦上为正，余弦右为正，正切一三正，其余为负 不为正。 4.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sinx y=COS x y=tanx 图象 6 屋 定义域 值域 周期性 奇偶性 单增 单增 单调性 单减 单减 单增 对称中心 对称性 对称轴 二典例精析 题型一：扇形的弧长、面积公式 例1：已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为1 (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧长1； (2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 变式训练1：已知扇形A0B的圆心角为120°，半径长为6，求(1)AB的长；(2)扇形所含弓 形的面积。 题型二：三角函数的定义（高频考点） 例2：(1)若tana>0,则() A.sin a>0 B.cos a>0 C.sin 2a>0 D.cos 2a>0 (2)已知角0的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos 20= 变式训练2：(1)设角a终边上一点P(-4a,3a)(a<0),则sina的值为 (2)已知角a的终边上一点P(一3，m(m≠0)，且sina=2)m4,则m= 题型三：三角函数的定义域和值域 例3：(1)函数y=sinx一cosx的定义域为 (2)函数y=cos2x+2sinx的最大值为 变式训练3：(1)函数y=2sinx一1的定义域为 (2)函数r)=3 sina vs4 alcol(2x-f(π6)在区间[0,2]上的值域为. 题型四：三角函数的单调性（高频考点） 例4：(1)函数f(x)=tan\alvs4al\col(2x一1f(r3))的单调递增区间为」 (2)已知函数f(x)=sin2xcos中+cos2xsin中(x∈R),其中中为实数，且f(x)≤f \avs4\al八co1(f(2r9)对任意实数R恒成立，记p=f\a1vs4\a1八co1(\f(2T3),q=f a\vs4\a1\col(f(5r6)),r=f八avs4\al八col(自f(7n6),则p、q、r的大小关系是_ (3)已知函数f(x》=(sinx十cosx)2+2cos2x-2. ①求f(x)的单调增区间：②当x∈\f(r3r4)时，求函数f(x)的最大值，最小值， 变式训练4：(1)已知函数f(x)=2 sin\a\vs4al\co1(x+f(r3),设a=f \a\vs4\al\col(\f(7)),b=flalvs4\al\col(\f(n6)),c=f\a\vs4\al\col(\f(3)), 则a,b,c的大小关系是 (2)已知函数f(x)=2 sin wx(w>0)在区间一\f(rr4)上的最小值是一2，则w的最小值等 于 (3)函数y=|tanx的单调增区间为 题型五：三角函数的奇偶性、周期性及对称性 例5：(1)在函数①y=cos2x,②y=|cosx,③y=cos\alvs4\al\co1(2x+1f(r6),④y =tan\a\vs4\al\co1(2x一1f(4))中，最小正周期为r的所有函数为() A.②④B.①③④C.①②③D.①③ (2)当x=4时，函数f(x)=sin(x十中)取得最小值，则函数y=f Aa\vs4\al\col(\f(34-x)( A.是奇函数且图象关于点1alvs4\a1八co1(f(π2)，O)对称B.是偶函数且图象关于点1 rc)(a\vs4\al\col(π，O)对称 C.是奇函数且图象关于直线x=π2对称D.是偶函数且图象关于直线x=工对称 变式训练5：(1)已知函数f(x)=sin\alvs4\al八co1(2x+1f(3r2))(x∈R),下面结论错误 的是() A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=4对称D.函数f(x)在区间O,1f(π2)上是增函数 (2)(2014·高考北京卷)设函数f(x)=Asin(wx+中》(A,d,中是常数，》0，w>