第12讲 三角函数公式（一）讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第12讲三角函数公式（一) 同角三角函数的基木关系式及诱导公式 一.基础知识回顾 1.同角三角函数的基本关系：(1)平方关系」 (2)商数关系：sin a cos a=」 2.诱导公式 组数 一 三 四 五 六 七 八 九 2kr+a(k∈ 3n 3n 角 r一a n+a 2x-a n2-a x2+a +a -0 Z 3 2 正弦 sina -sina sina -sina -sina cos a cosa -cosa -cosa 余弦 cos a cos a -cos a -cos a cos a sina -sina sina -sina 正切 tan a -tan a 一tana tan a -tan a cot a -cot a -cot a cot a 口诀 二. 典例精析 题型一：同角三角函数基本关系式（高颜考点 例1：(I)已知sina=-35,且a∈avs4 alicol(0f(r3r2),则tana= (2)已知ana=2,求下列各式的值： D2sin a -3cos a 4sin a -9cos a 24sin2 a -3sin a cos a -5cos2 a. 变式训练1：(1)已知a是第二象限的角，ana=一12，则cosa= (2)已知tan0=2,则sin20+sin0cos0-2cos20= 题型二：同角三角函数基本关系式的应用 例2：己知在△4BC中，sinA+cosA=15. (I)求sinAcosA的值；(2)判断△4BC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值. 变式训练2：已知-π2x0,sinx十cosx=15 (1)求sn一cos2x的值：(2)求tanx2sinx十cosx的值. 题型三：三角函数式的化简与证明 例3：(1)化简：tana+tan a sin a tan a+sina-(1+lcos a)sina1+sina;(2) 求证：sina-cosa+1sina+cosa-1=1+sin a cos a. 变式训练3：(1)化简：1-sin2400°；(2)若tan a-sin a<0,化简1-sina1+sina)+1 +sin a 1-sin a). 题型四：利用诱导公式化简三角函数式 例4：(1)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)sin(-1050°)= (2)设fa)=2sin(+a)cos(r-a)-cos(r+a)rcrc2)+a)1+2sina≠0)， falvs4allcol(-(23 n 6))= 变式训练4：.(1)sin(-1071”)sin99°+sin(-171°)sin(-261°)+tan(-1089°)tan(-540 )= (2)已知cos\a\vs4\al\co1(f(r2)+a)=2sin\a\vs4\al\col(a-\f(r2),则sin3D元-a 口+cos口a+π0 rcre2)-)的值为 4 题型五：利用诱导公式求值 例5：(I)已知sinaivs4 alcol(0fr)-a)=I2,则cosalvs4-alicol(0t开可+a)=_； (2)已知tanialvs4 alcol(fn6)-a=3)3,则tanlalvs.4 alcol(f56)r+a= 变式训练5：(1)已知sinlalvs4 alcol(f7n12)+a=23,则cos1avs4alco1(a一11r12) (2)已知coslalvs.4al小colfπ6-a)=3)3,则cos alvs4al小col0f56)x+a)-sin2avs4 alcol(a-1 fπ6)= 三.方法规律总结 1.同角三角函数关系式及变形公式的应用：(1)利用sin2a+cos2a=1可以实现角a的正弦、 余弦的互化，利用sin a cos a=tana可以实现角a的弦切互化.(2)应用公式时注意方程愿想 的应用：对于sma十cosa,sin a cos a,sina一cosa这三个式子，利用(sina士cosa) 2=1±2 sin a cos a,可以知一求二. 2.利用诱导公式化简三角函数式的原则 遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化筒变形，达到角的统一，再进行三角函数名称 转化，以保证三角函数名称最少， 3.巧用相关角的关系会筒化解题过程，常见的互余关系有π3一仪与π6十：π3十a与π6一a: 4十a与π4一a等，常见的互补关系有元3十+0与2π3一0：π4十0与3π4-0等. 四.专题限时规范训练 一、选择题 1.若a∈aws4acol(-f(rr2),sina=-35,则cos(-a=() A.-45B.45C35D.-35 2.已知sin(r+0)=-3cos(2r-),|0<n2,则8等于( ) A.-元6 B.-π3