专题2.7 角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.7 角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】角的平分线的性质 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 特别提醒： （1）用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF; （2） “点到角两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度. 【知识点二】角的平分线的判定 　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 特别提醒： （1）用符号语言表示角的平分线的判定： （2）若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB； （3） “点到角两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度； （4） 角平分线的性质与判定是互逆的. 【知识点三】角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【考点一】角平分线的性质定理 【例1】如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且． (1) 求证：； (2) 若，，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析 (2)10 【分析】（1）由角平分线的性质可得，证明，进而结论得证； （2）证明，可得，根据计算求解即可． （1）证明：（1）∵， ∴， 又∵BD是的平分线，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵BD是的平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴AB的长为10． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等． 【举一反三】 【变式1】如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ） A．24 B．30 C．36 D．42 【答案】B 【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E， ∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°， ∴DE=CD=4， ∴四边形的面积 故选B. 【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论； （2）根据DE＝DF，得，代入计算即可． 解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE＝DF， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵DE＝DF， ∴， ∵AB+AC＝10， ∴DE＝3． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 【考点二】角平分线的判定定理 【例2】如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 【答案】28° 【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数． 解：如图，过点E作EF⊥AB于F， ∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB， ∴DE=EF， ∵E是DC的中点， ∴DE=CE， ∴CE=EF， 又∵∠C=90°， ∴点E在∠ABC的平分线上， ∴BE平分∠ABC， 又∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°-∠AED=62°， ∴Rt△BCE中，∠CBE=28°， ∴∠ABE=28°． 【点拨】考察了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线． 【举一反三】 【变式1】点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（    ） A．110° B．120° C．130° D．