专题2.4 线段的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.4 线段的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解） 线段的垂直平分线 定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 特别提醒： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【考点一】线段垂直平分线的性质 【例1】如图，四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F， (1) 求证：△BCE≌△FDE； (2) 连结AE，当AE⊥BF，BC=2，AD=1时，求AB的长． 【答案】(1)见分析；(2)AB的长为3 【分析】（1）根据ADBC得到∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C，根据点E为CD的中点得到ED＝EC，即可根据AAS证明△BCE≌△FDE； （2）根据△FDE≌△BCE得到BE＝EF，BC＝DF=2，根据AE⊥BF得到AE为线段BF垂直平分线，得到AB＝AF，即可得到AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3． （1）解：∵ADBC， ∴∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C， ∵点E为CD的中点， ∴ED＝EC， 在△FDE和△BCE中， ， ∴△FDE≌△BCE（AAS）； （2）解：∵△FDE≌△BCE， ∴BE＝EF，BC＝DF=2， ∵AE⊥BF， ∴AE为线段BF垂直平分线， ∴AB＝AF， ∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3， ∴AB的长为3． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟知全等三角形的判定定理与性质定理，证明△BCE≌△FDE是解题关键 【举一反三】 【变式1】如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：． 【分析】根据线段的垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠ADF，根据角平分线得出∠DAB＝∠CAD，推出∠FAC＝∠B，根据∠FAB＝∠BAC＋∠FAC和∠ADF＝∠B＋∠BAC推出即可． 解：证明：∵EF是AD的垂直平分线， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠ADF， ∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB＝∠CAD， ∴∠FAC＝∠B， ∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC， 即∠BAF＝∠ACF． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． 【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为 cm． 【答案】3 解：连接AM，AN， ∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM=AN=MN， ∴BM=MN=NC， ∵BC=9cm， ∴MN=3cm． 故答案为3cm． 考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质； 【考点二】线段垂直平分线的性质与判定 【例2】如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1) 请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2) 若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 【答案】(1) FC=AD，理由见分析；(2) 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可． （1）解：FC=AD，理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE=EC（中点的定义）． 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC=AD（全等三角形的性质）； （2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等）， ∵BE⊥AE， ∴BE是线段AF的