第3章 圆锥曲线与方程知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

新教材 湘教版2019版 数学选择性必修第一册 第3章 知识点清单 目录 第3章　圆锥曲线与方程 3. 1　椭圆 3. 2　双曲线 3. 3 抛物线 3. 4 曲线与方程 3. 5 圆锥曲线的应用 2 / 2 第3章　圆锥曲线与方程 3. 1　椭圆 一、椭圆的定义 1. 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆. 2. 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距. 二、椭圆的标准方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 对称性 对称轴为x轴、y轴；对称中心为(0，0) 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0)， B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长为2a，短轴长为2b 离心率 e= (0<e<1) 1. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫作椭圆的通径，其长度为. 2. 焦点弦：过焦点的弦，焦点弦中通径最短. 3. 焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作椭圆的焦半径，记r1=|PF1|，r2=|PF2|. (1) +=1 (a>b>0)，则r1=a+ex0，r2=a-ex0； (2) +=1 (a>b>0)，则r1=a+ey0，r2=a-ey0. 三、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 1. 点P(x0，y0)与椭圆+=1 (a>b>0)的位置关系 　　点P在椭圆上⇔+=1；点P在椭圆内部⇔+<1；点P在椭圆外部⇔+>1. 2. 代数法判断直线与椭圆的位置关系 把椭圆方程与直线方程联立，消去y(x)，整理得到关于x(y)的方程Ax2+Bx+C=0 (Ay2+By+C=0)，该一元二次方程根的判别式为Δ， ①若Δ>0，则直线与椭圆相交； ②若Δ=0，则直线与椭圆相切； ③若Δ<0，则直线与椭圆相离. 3. 弦长公式 设直线y=kx+b与椭圆有两个公共点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则弦长公式为|MN|= 或|MN|= (k≠0). 四、椭圆的标准方程的求解 1. 定义法：根据椭圆的定义确定a，b的值，结合焦点位置写出标准方程. 2. 待定系数法. 其步骤为： (1)作判断. 由题意判断焦点在x轴还是y轴上，还是都有可能. (2)设方程. 依据判断设方程，特别地，如果中心在原点，焦点位置不明确时方程可设 为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). (3)找关系. 由条件找关系，建立方程组. (4)求解. 解方程组，代入所设方程即可. 3. 两种特殊方程的设法 (1)与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程可设为+=k1(k1>0，a>b>0)或+=k2(k2>0，a>b>0). (2)与椭圆+=1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为+=1(k<b2<a2). 五、椭圆的焦点三角形问题 1. 椭圆上异于长轴端点的点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形. 解关于椭圆的焦点三角形问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 2. 焦点三角形的常用结论 (1)焦点三角形的周长C=2a+2c. (2)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积=c|yP|=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan. (3)设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则e=. 六、求椭圆的离心率 1. 当a，c易求时，直接代入e=求解； 当b，c易求时，利用e=求解； 当a，b易求时，利用e=求解. 2. 若a，c的值不可求，则可列出只含a，c的齐次方程(不等式)，列式时常用公式b=代替式子中的b，然后将等式(不等式)两边同时除以a的最高次幂，得到关 于e的方程(不等式)求解即可. 此时要注意0<e<1. 七、直线与椭圆的相交弦问题 1. 求相交弦的长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长. (2)当直线斜率存在时，利用弦长公式求弦长. 2. 与椭圆中点弦有关问题的三种题型及解法 (1)利用根与系数的关系求中点坐标：联立直线和椭圆方程，消去x(y)得到关于y(x)的一元二次方程，利用根与系数的关系以及中点坐标公式求解. (2)利用点差法求直线斜率或方程. 其步骤为： ①设点. 设出弦的两端点坐标. ②代入. 将端点坐标代入曲线方程. ③作差. 两式相减，利用平方差公式把式子展开. ④整理.