第1章 数列知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

新教材 湘教版2019版 数学选择性必修第一册 第1章 知识点清单 目录 第1章　数列 1. 1　数列的概念 1. 2　等差数列 1. 3 等比数列 1. 4 数学归纳法 2 / 2 第1章　数列 1. 1　数列的概念 一、数列相关概念的理解 1. 如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，那么它们是不同的数列. 2. 同一个数可以在数列中重复出现. 3. {an}表示一个数列，an表示数列中的第n项. 4. 并非所有的数列都能写出它的通项公式. 5. 数列的分类： (1)按项的个数分：有穷数列，无穷数列； (2)按数列的变化趋势分：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列. 二、数列与函数的关系 1. 数列是特殊的函数，从函数的观点看： 定义域 正整数集N+(或它的有限子集{1，2，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值组成的集合 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)图象法；(3)列表法 2. 求数列中的项或判断某项是不是数列的项时， ①如果已知an=f(n)和n0，则=f(n0)； ②判断m是不是{an}的项，只需令m=an，判断此方程是否有正整数解. 三、数列的通项公式与递推公式的区别 1. 通项公式反映了数列中项与序号之间的关系，而递推公式反映了数列中项与项之间的关系； 2. 求数列的某一项时，可以通过将序号代入通项公式直接求出该项，而对于递推公式，则必须通过逐项计算求出该项； 3. 递推公式可以揭示数列的一些性质，但不容易了解数列的全貌，计算也不方便，而通项公式可以“把握”整个数列. 四、求数列的通项公式 1. 从下面4个角度观察数列的前几项： (1)各项的符号特征； (2)各项能否拆分； (3)分式的分子、分母的特征； (4)相邻项的变化规律. 2. 寻找各项与对应的项的序号之间的规律，一般方法如下： (1)统一项的结构，将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如都化成分数、根式等； (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的函数解析式； (3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时，应把符号分离出来，可用(-1)n或(-1)n+1来表示； (4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，一般考虑用分段的形式给出，有时也可以将给出的各项统一化成某种形式. 五、数列与函数的关系列 1. 判断数列单调性的方法 (1)转化为函数，利用函数的性质求解. (2)通过作差法或作商法比较数列中相邻两项的大小关系. 2. 求数列中的最大(或最小)项的方法 (1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最大(或最小)项. (2)利用 (n≥2，n∈N+)求数列中的最大项an； 利用 (n≥2，n∈N+)求数列中的最小项an. 当所得解不唯一时，比较各解的大小即可. 六、利用数列的递推关系解决相关数列问题 1. 根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列前几项的方法 (1)根据递推公式求数列的前几项，首先要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可. (2)若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an=2an+1+1. (3)若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an+1=. 2. 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)[f(n)是可以求和的]，使用累加法或迭代法； ②an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an[f(n)是可以求积的]，使用累乘法或迭代法； ③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. 1. 2　等差数列 1. 2. 1 等差数列及其通项公式 1. 2. 2 等差数列与一次函数 一、等差数列相关概念的理解 1. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数， 那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差. 2. 求公差d时，可以用d=an-an-1(n≥2，n∈N+)或d=an+1-an来求. 3. 2M =a+b⇔a，M，b成等差数列，即两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数. 4. 等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中的四个量a1，an，n，d，只要知道任意三个量，就可以求出第四个量. 二、等差数列的性质 若数列{an}是公差为d的等差数列，则 1. 当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列