第11讲 导数的应用讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第11讲导数的应用 一.基础知识整合 1.函数的单调性：在(a,b)内可导函数x),子(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0 (x)≥0台x)在(a,b)上为一·(x)≤0台x)在(a,b)上为 2.函数的极值：(1)极小值：函数y=x)在点x=a的函数值a比它在点x=a附近其他 点的函数值都小，广(@)=0：而且在点x=a附近的左侧一，右侧 ,则点a叫 做函数y=x)的 ·a)做函数y=x)的 (2)极大值：函数y=)在点x=b的函数值b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大， f(b)=0:而且在点x=b附近的左侧 ,右侧，则点b叫做函数y=x) 的 ,b)叫做函数y=x)的 极大值点、极小值点统称为，极 大值、极小值统称为」 3.函数的最值：(1)在闭区间[a,b]上 的函数x)在a,b]上必有最大值与最小值 (2)若函数x)在[a,b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数 f)在[a,b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.(3)求可导函数f x)在a,b】上的最大值和最小值的步骤如下：①求fx)在(a,b)内的：②将x)的各极 值与进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 4.利用导数解决不等式问题：(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或 最值问题.(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化 为研究新函数的值域问趣 5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：()分析实际问题中各量之间的关系，列出 实际问题的数学模型，写出实际间题中变量之间的函数关系式y=):(2)求函数的导数f '(),解方程f()=0:(3)比较函数在区间端点和f()=0的点的函数值的大小，最大（小） 者为最大（小）值：(4)回归实际问题作答 二典例精析 题型一：利用导数判断或证明函数的单调性 例1：己知常数a>0,函数x)=n(1十ax)一2xx十2.讨论x)在区间(0，+∞)上的单调性， 变式训练1：，已知函数x)=lm(x+1)x,x∈（一1,0）U(0,+∞).判断函数x)的单调性. 题型二：求函数的单调区间 例2：已知函数x)=x4十一lnx一32，其中a∈R,且曲线y=x)在点(1,1)处的切线垂 直于直线y=12x (1)求a的值；(2)求函数x)的单调区间. 变式训练2：已知函数x)=lnx一(a∈R),求函数)的单调区间. 题型三：已知函数的单调性求参数的范围 例3：已知函数fx)=x2+2alnx(a≠0). (1)若函数x)的图象在点(2，尤2)处的切线斜率为2，求实数a的值： (2)若函数gx)=2x十x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围. 变式训练3：已知函数式x)=elnx一ae(a∈R). (1)若x)在点1,1)处的切线与直线y=lx+1垂直，求a的值： (2)若x)在(0，十∞)上是单调函数，求实数a的取值范围. 题型四：函数的极值问题 例4：己知函数x)=e(ar十b)一x2一4曲线y=x)在点(0，O)处的切线方程为y=4r十4. (I)求a,b的值：(2)讨论x)的单调性，并求x)的极大值. 变式训练4：已知a,b是实数，1和一1是函数x)=x3+2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值；(2)设函数gx)的导函数gx)=x)十2，求gx)的极值点. 题型五：函数的最值问题 例5：己知函数x)=(4x2+4m+a2)x,其中a<0. (1)当a=一4时，求x的单调递增区间： (2)若x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值 变式训练5：函数x)=anx一bx>0),若函数x)在x=1处与直线y=一12相切. (1)求实数a,b的值；(2)求函数fx)在fle,e)上的最大值. 三.方法规律总结 1.理清导数与函数单调性的关系：(I)fx)>0(或0)是x)在(a,b)内单调递增（或递减）的充分 不必要条件；(2)fx)≥0（或≤0）是x)在(a,b)内单调递增（或递减）的必要不充分条件(f(x)=0 不恒成立).注意：由函数x)在区间a,b]内单调递增（或递减，可得fx)≥0（或≤0）在该 区间恒成立，而不是∫'（少0（或<0）恒成立，“=”不能少 2.导数法证明函数fx)在(a,b)内的单调性的步骤：(1)求fx);(2)确认fx)在(a,b)内的符 号：(3)作出结论：fx)>0时为增函数；fx)0时为减函数. 3.导数法求函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数x)的定义域；(2)求导数f):(3)在函 数x)的定义域内解不等式fx)>0和子(x)0:(4)根据(3)的结果确定函数x)的单调区间. 4.根据函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y=)在(，b) 上单调，则