第8讲 二次函数与幂函数讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第8讲 二次函数数与幂函数 基础知识整合 1.二次函数的定义与解析式： (1)二次函数的定义：形如：x) (a≠0)的函数叫做二次函数 (2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：)= ②顶点式：x)= ③零点式：)= 2.二次函数的图象和性质 解析式 Ax)=ax2+bx+da-0) x)=a2+bx+c(a<0) 图象 定义域 值域 单调性 在 上单调递减： 在 上单调递增： 在 上单调递增 在 上单调递减 对称性 函数的图象关于x 对称 3.幂函数的概念：形如y= 的函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数， 4.幂函数的性质：()五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 y=x R R 奇 y=x2 R [0,+∞) 偶 [0,+∞)☑ (-∞，0]/ y=3 R R 奇 非奇 (1,1) 1 y=xi [0,+∞) [0,+∞) 非偶 [0,+∞)/ y=x-1 (-∞，0) (-∞，0) 奇 (-∞，0)/ U(0,+c∞】 U(0,+∞) (0,十o∞) (②)所有幂函数在 上都有定义，并且图象都过点 且在第 象限无图象 (3)a>0时，幂函数的图象通过点 并且在区间(0，十∞)上 是 ,a<0时，幂函数在(0，十∞)上是 一，图象原点 二，典例精析 题型一：求二次函数的解析式 例1：己知二次函数x)有两个零点0和一2，且它有最小值一1 (I)求)的解析式；(2)若gx)与x)图象关于原点对称，求gx)解析式. 变式训练1：若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)一f(x)=2x,且f(0)=1. 求f(x)的解析式；(2)若在区间[一1,1]上，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范 围. 题型二：二次函数的图象与性质 例2：(1)已知a是实数，函数x)=2a2+2x一3在x∈[-1,1]上恒小于零，则实数a的取 值范围为 (2)已知函数x)=-x2十2a十1一a在x∈[0,1时有最大值2，则a一 变式训练2：(1)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]，若y=f(x)在区间[-4,6]上是 单调函数，则实数a的取值范围为 2)设函数y=x2-2x,x∈[-2，a,若函数的最小值为g(a),则g(a_ 题型三：幂函数的图像与性质 例3：(1)已知幂函数fw)=x2,若(a十1)<f10-2a),则a的取值范围是 (2)比较下列各题中值的大小. ①337，②0.2130.233：③22 1.8,④4.153.83(-1.9) 变式训练3：(1).已知幂函数fx)=0n2+2n一2)x2-3m(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0， 十∞)上是减函数，则n的值为 (2)已知函数)=x-2m-3m∈N的图象关于y轴对称，且在(0，+©)上是减函数，则 满足(a+1)3<(3-2a)3的a的范围为 三.方法规律总结 1.关于二次函数y=f(x》对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y=f(x对定义域内所有x, 都有f(x)=f(x2),那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=x1+x22(2)对于二次函数y =f(x)对定义域内所有x,都有f(a十x)=f(a一x)成立，那么函数y=f(x)图象的对称轴方 程为x=a(a为常数).(3)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x十2a)=f (x),那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=a(a为常数). 2.在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：()已知三个点的坐 标，应选择一般式：（②）已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式：(3)已知函数图象与x 轴的交点坐标，应选择零点式， 注意：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引入的字母系数过多，会加大运算量， 易出错 3.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动， 不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴 与区间的位置关系进行分类讨论： 4,二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解. 5.幂函数y=x(a∈R),其中a为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数a为常 数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准】 6.在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在(1，+ ∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.幂函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性：幂函数 的图象最多只能同时出现在两个象限内：如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原 点。 四.课后练习作业专 一，选择题 1.已知幂函