第7讲 指数函数与对数函数讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第7讲指数函数与对数函数 一，基础知识回顾 1.指数函数的定义：函数 叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a()的 常量. 2.指数函数的图象与性质 y=a a>I 0<a<1 y y=a 图象 0) …y= 0.9.…yl 01 01→x 定义域 值域 过定点 性质 当x>0时， 当x0时， 当x<0时， 当x<0时， 在R上是函数 在R上是函数 3.当0<α<1时，指数函数的底数越小函数图像越接近坐标轴，当a>1,指数函数的底数越 大函数图像越接近坐标轴 4.对数函数的定义： 一般地，我们把函数 (a>0,a≠1)叫作对数函数，a叫作对 数函数的 一x是 5.对数函数的图象与性质 a>] 0a r=1 y=logax 图 (1,0) o71,0) y=logax 定义域： 值域： 性 过点 即x=1时，y=0 质 当>1时， 当x>1时， 当0x<1时， 当0x<1时， 是(0，十∞)上的 函数是(0，+∞)上的 函数 6.当0<a<1时，对数函数的底数越小函数图像越接近坐标轴，当a>1,对数函数的底数越 大函数图像越接近坐标轴 7.反函数：指数函数y=a与对数函数y=ogx互为反函数，它们的图象关于直线对 称. 二.典例精析 题型一：指数函数的性质及应用 2 4 例1：0已知a=白，b=2,c=, 则下列关系式中正确的是() A.c<a<bB.beasc C.asc<b D.a<b<c (2)设偶函数)满足x)=2x一4(x≥0)，则{x一2)>0}=( A.r-2或x4}B.x0或x4}C.{xr<0或x>6}D.{x<-2或>2} (3)函数x)=avs4acol1(f12)2一x+2a+I的单调减区间为 变式训练1：(1)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.406,则() A.a-b-c B.a-c-b C.ca-b D.b-c-a (2)已知函数 $$y = 2 ^ { - x 2 + c + 1 }$$ 在区间 (-∞，3) 内递增，则a的取值范围为. (3)函数 $$f \left( x \right) = \left\{ a | \log _ { 3 } 4 | a | c o l \left( a \left( 1 4 \right) \right) x - | a | y s 4 | a l | c l o l \left( f \left( 1 2 \right) \right) x + 1$$ 在 x∈[-3，2] ]上的值域是 题型二：指数型函数的综合问题 例2：已知 $$f \left( x \right) = a a - 2 \left( a ^ { x } - a ^ { - x } \right) \left( a > 0$$ 且 \left.{a≠1}). (1)判断 f(x) 的奇偶性： (2) 讨论 f(x) 的单调性； (3)当 x∈[-1，1] 时 f(x)≥b 恒成立，求b的取值范围. 变式迁移2：已知函数 $$f \left( x \right) = \left( 1 2 x - 1 + 1 2 \right) x ^ { 3 } .$$ (1)求 f(x) )的定义域；(2)证明： f(-x)=f(x)； )； (3)证明： f(x)>0. 题型三：对数函数的性质及应用 例3：已知 $$a = 2 ^ { \frac { 1 } { 3 } } ， b = \log _ { 2 } \frac { 1 } { 3 } ， c = \log _ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { 3 } ，$$ 则) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a (2)定义在R上的偶函数 f(x) 在 [0，+∞) 上递增， f(13)=0， ，则满足 $$f \left( \log _ { \frac { 1 } { 8 } } x \right) > 0$$ 的x 的取值 范围是 () A.(0，+∞) B.(0，12)∪(2，+∞)C.(0，18)∪(12，2) D.(0，12) (3)已知函数 f(x)=lgax+a-2x 在区间[1，2]上是增函数，则实数 {a\right. 的取值范围是 变式训练3：(1)设函数 $$f \left( x \right) = \log _ { a } | x | 在 在$$ (-∞，0) 上单调递增，则 f(a+1) 与 f(2) )的大小关系是 (A) A A.f(a+1)>f(2)B.f(a+1)<f(2)C.f(a+1)=f(2) ) D.不能确定 (2)已知函数 $$f \left( x \right) = a ^ { x } + \log _ { a } x \left