第6讲 指数与对数运算讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第6讲 指数与对数运算 一.基础知识回顾 1.根式 ()根式的概念：①若=a,则x叫做a的n次方根，其中>1且n∈N*式子na叫做根式， 这里n叫做根指数，a叫做被开方数.②a的n次方根的表示： x=a=x=lmaa(当n为偶数且n∈N*时) (2)根式的性质：①nay=_(n∈N).②nam= 2.有理数指数幂 (I)幂的有关概念：①正分数指数幂：a”= (a>0,m,n∈N,且>1)： ②负分数指数幂：口” _(a>0,m,n∈N,且n>l): ③0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂 (2)有理数指数幂的运算性质： ①aa=。 (a>0,r,s∈R)；②(ay=(a>0,r,s∈R):③aby=_(a>0,b>0,r∈R) 3.对数及其对数的运算 概 如果 (a>0,a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=一 念 其中a叫做对数的，N叫做 底数的限制： 对数式与指数式的互化：a=N台 性 负数和零没有对数 质 1的对数是：log1=底数的对数是1：1oga= 对数恒等式：ae。N= 运 log (M-N)= 算 log MN= a>0,且a≠1，M0,N>0 质 log Mi= (n∈R) 换 底 公 公式：l1ogb= (a>0,且a≠1：c>0,且c≠1：b>0) 式 二.典例精析 题型一：有理指数幂的化简与求值 例1：已知a,b是方程9x2一82x+9=0的两根，且ab, 求：（①）a-1+b-10ab-1:Va2Va3+33a15 变式训练1：化简下列各式： (1)0.027-13-latvs4allcol((17))-2+lals4allcol(21(79)) )2-2-1°：（② aws4aeo10t5r1w2·(-3a-126-y片46-)2.ah 3) 题型二：分数指数幂的综合运算 例2：已知a2十a2=3,求下列各式的值： （1)a+a:2)a2+a2,3)日-a. a2-a2 变式训练2：(1)已知2+2=5，则4+4-▣的值为 (2)已知x2+x2=5,则x2+1x的值为() A.5B.23 C.25 D.27 题型三：对数运算性质的应用 例3：计算：(1)1og2748)+1og212-1210g242+(12)1gz3, (2)1g52+231g8+1g5·1g20+(1g2)2. 变式训练3：计算下列各式的值：(1)1g14-21g73+1g7-1g18; (2)1g52+231g8+1g5·1g20+(1g2)2 题型四：利用换底公式化简求值 例4：(1)化简：1og225·1og3116·1og519.(2)计算：(1og43+1ogs3)1g21g3. 变式训练4：计算：(1)1og1627·1ogs132:(2)(1og2+1og2)(1og3+1oga3). 题型五：用已知对数表示其他对数 例5：已知1og19=a,18b=5,用a,b表示10g645. 变式训练5：已知10g189=a,180=5,求1og92s45(用a,b表示). 三：方法规律总结 1.指数幂运算的一般原则：（①）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (②)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号：底数是小数，先化成分数：底数是带分数的，先化成假分数， (④)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 2.对数运算的一般思路：(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的 形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并. (②)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底 对数真数的积、商、幂的运算 四.课后练习作业 一.选择题 1.下列结论①当a<0时，(a2)2=a3:②nan=la;③函数y=(x-2)2-(3x-7)°的定义域 是(2，+∞)：④若1002=5,10=2，则2a+b=1.正确的个数是 (） A.0 B,1 C.2 D.3 2下列指数式与对数式互化不正确的一组是(） A.e0=1与1n1=0B.8-13=12与1og12=-13C.1og9=2与912=3D.1og77=1与 71=7 3.设a>0,将a2a·r(3a2)表示成分数指数幂，其结果是() 73 A.a2 B.a6 C.a6 D.a2 4.计算：1og891og23的值为() A.23 B.32 C.2 D.3 5.设f(x=2ex-1,x<2,1og3x2-1,x≥2，)则f(f(2)的值为() A.0B.1C.2D.3 6.设a,b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A.log,bllog,b=log,a logab.B.log,b log.a=log,b C.log,