第5讲 函数的奇偶性与周期性讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第5讲函数的奇偶性与周期性 一，基础知识回顾 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数的定义域内任意 偶函数 个x,都有 那么函数x)是 关于」 对称 偶函数 如果对于函数)的定义域内任意 奇函数 个x,都有 那么函数fx)是 关于 对称 奇函数 2.奇偶函数的性质： (1)x)为奇函数÷一x)= 一一x)十x)=；x)为偶函数一x)=(-x)= x)-f-x)= (2)奇函数在对称的单调区间内有的单调性：偶函数在对称的单调区间内有的单 调性. 3.常见函数的奇偶性：①一次函数y=kx+b(k≠0)为奇函数的充要条件为 ②y=ax2+ bx+c(a≠0)其为偶函数的充要条件为③指数函数与对数函数均为 ④三角 函数：y=sinx为 函数；y=cosx为函数：y=tanx为函数 4.函数的周期性： ()定义：如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有 ,则 称x)为周期函数，其中称作x)的周期.若T存在一个一则称它为)的最小 正周期. (2)性质：①x十T)=x)常常写作x+T2)=x一T2).②如果T是函数y=x)的周期，则 T∈Z且k≠0)也是y=x的周期，即x十)=x).③若对于函数x)的定义域内任一个 自变量的值x都有x十a)=一fx)或x十a=1f口xD或fx十a)=一1f口x口(a是常数且a≠ 0),则x)是以为一个周期的周期函数. 5.函数的对称性：(1)x)是偶函数=x的图象关于y轴对称；x)是奇函数一x)的图象关 于原点对称.(2)若fx十a)=b一x)则函数f(x)关于直线x=对称 二。典例精析 题型一：函数奇偶性的判定 例1：判断下列函数的奇偶性。 (1)9=3-3-:(2)x)=3-2x+2x-3:(3)x)=x2+x,X<0,-x2+X,x>0.) 变式训练1：判断下列函数的奇偶性 (1x)=c+1)1-x1+x):(2x)=x2-1+1-x2: (3)x=4-x2)x+3-3. 题型二：函数奇偶性的应用 例2：(1)已知x)是R上的偶函数，且当x>0时，x)=x2一x一1，则当x<0时，x)= (2)已知奇函数x)的定义域为一2,2引，且在区间[一2,0]上递减，则满足1一m)十1一m2) <0的实数m的取值范围是 (3)设函数x)=x十1 x十ax为奇函数，则a= 变式训练2：(1x)是R上的奇函数，当x≥0时，x)=x3+n(1十x)则当x<0时，x)= (2)已知定义在（一11）上的奇函数fx),其导函数为(x)=1十cosx,如果1-a)十1一a2) <0,则实数a的取值范围为 (3)已知x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若1)<1,5=2a一3a+1,则实数a 的取值范围为 题型三：函数周期性的应用 例3：(1)设定义在R上的函数x)满足x十2)=)，且当x∈[0,2)时，x)=2一x2,则f (0)+1)+2)++2017)= (2)若函数xx∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为x)=x(1一x),O≤x≤ l,snrx,1<x≤2，)则faws4 alcol(f294+faws4 alcol(f4l6)= 变式训练3：(1)定义在R上的函数x)满足x十6=x),当-3≤x<一1时，x)=一 +2)2:当-1≤x<3时，)=x.则1)+2)+3)+…+2018)= (2)设函数xx∈R)满足fx+元=)+sinx.当0≤r时，x)=0,则f aivs4al col(f(2326))= 题型四：函数性质的综合应用 例4：(1)己知偶函数x)在区间[0，十∞)上是增加的，则满足2x一1)13)的x的取值范 围是 (2)已知x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若1)1，S=2a一3a+1,则实数a 的取值范围为 变式训练4：(1)若定义在实数集R上的偶函数x)满足x)P0,x十2)=1f口x口，对任意 x∈R恒成立，则2019)等于 (2)设x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上，fx)=十I,-1sx<0, bx+2x+),0s≤1，其中a,b∈R若f八a\vs4\al\col(0f(12)=f \a\vs4al\co1(f(32)),则a+3b的值为 三.方法规律总结 1.正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对 称是函数x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件：②（一x)=一）或一x)=x)是定义域 上的恒等式 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要 先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：一x)=)一（一xx)=0∽「口一x 口fD×□=士1(x)≠0). 3.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真。利用这一性质可 简化一些函