第4讲 函数的单调性与最值讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第4讲函数的单调性与最值 一基础知识回顾 1函数的单调性 增函数 减函数 在函数x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数，2∈A 定义 当x2时，都有 那么，就 当2时，都有 那么， 称函数x)在区间A上是 的 就称函数x)在区间A上是_ 的 y=f(x) fx) y=与fx) 图像 优x fx)i f(x) 描述 自左向右看图像是 自左向右看图像是 2.单调性的定义的等价形式：设x1,∈[a,b小，那么(，一x2)()一2)P0一f口x1口一f 口x2口x1-x2>0ex)在[a,b]上是增函数：-x))-)0ef口x1口-f 口x2口x1一x2<0一x)在a,b]上是减函数， 3.导数与函数的单调性： 在(a,b)内可导函数x),f广x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0 一x)在(a, b)上为增函数. 一fx)在(a,b)上为减函数. 4.单调区间：如果函数y=x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y=x在这一 区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=x)的单调区间， 5.判断函数单调性的四种方法 ①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论： ③复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数： ④①图象法：如果x)是以图象形式给出的，或者x)的图象易作出，可由图象的直观性判断 函数单调性. ⑤导数法：利用导函数的正负判断函数单调性， 6.函数的最值 前提 设函数y=fx)的定义域为1，如果存在实数M满足 1)对于任意x∈1，都(1)对于 任意x∈1，都 条件 有 (②)存在x0∈ 有 (②)存在xo∈I,使 I 使得 得 结论 M为最大值 M为最小值 二.典例精析 题型一：函数单调性的判定及证明 例1：已知函数fx)=ax2-1(a>0),用定义法判断函数x)在(-1,1)上的单调性。 变式训练1：试讨论函数x)=x十kx(k>O)的单调性 题型二：求函数的单调区间 例2：(1)函数y=12x2-nx的单调递减区间为 (2)函数y=(二)23r的单调递塔区间为 (3y=一x2+2+3的单调增区间为 变式训练2：写出下列函数的单调区间： (1)fx)=lnxx;(2y=1ogr2-4r+3):(3y=|-x2+2:+3 题型三：函数单调性的应用 例3：(1)己知函数fx)的图象关于直线x=1对称，当2>1时，[优)一一)0恒 成立，设a=f八a\vs4al\co1(-f(12),b=2),c=fe),则a,b,c的大小关系为 (2)已知函数x)=x2十a(a>0)在(2，十o∞)上递增，则实数a的取值范围为 (3)已知函数x)=x2+红，x≥04你一x2,x<0,若2一a2>),则实数a的取值范围是 变式训练3：(1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 (2)如果函数x)=a2+2x一3在区间（一∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是」 (3)已知函数x)=a一2x一1，x≤1,1ogax,x>1,)若x)在(-o,+o)上单调递 增，则实数a的取值范围为 题型四：函数的最值 例4：己知函数fx)=x2+2x十ax,x∈[1，十o),a∈(-o,1] (1)当a=12时，求函数x)的最小值： (2)若对任意x∈[1，+o),)>0恒成立，试求实数a的取值范围 变式训练4：(1)函数fx)=1f1x一x2+2,x<1的最大值为 (2)已知函数x)=1a-1x(a>0,>0),若x)在f12),2)上的值域为[12,2]，则a= 题型五：抽象函数的单调性 例5：已知函数x)对于任意x,y∈R,总有x)十y)=fx十y),且当x0时，x)0,1) =一23.(I)求证：x)在R上是减函数：(2)求x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 变式训练5：已知定义在区间(0，十)上的函数x)满足x1x2)=x)一)，且当x>1时， x)0.(1)求1)的值：(2)判断x)的单调性：(3)若3)=一1，解不等式)-2. 三：方法规律总结 1。可以根据定义判断或证明函数的单调性， 2,求函数的单调区间：首先应注意函数的定义城，函数的单调区间都是其定义域的子集： 其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间，常用方法：根据定义，利用图象 和单调函数的性质：利用导数的性质」 3.复合函数的单调性：对于复合函数y=几gx小，若t=gx)在区间(a,b)上是单调函数，且 y=f0在区间(g(@),g(b)或者(g(b),g(a)上是单调函数，若t=g()与y=ft)的单调性相同（同 时为增或减)，则y=几gx)]为增函数：若=g()与y=0的单调性相反，则y=几gc)]为减函 数。简称：同增异减。 4.函数的单调区间是指函数在定义城内的某个区间上单调递增