第3讲 函数及其表示讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第3讲函数及其表示 一。基础知识整合 （一)函数的基本概念 1.函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A,B是两个」 A,B是两个 A,B 按照某个对应关系，对于集合A中的 按某一个确定的对应关系力对于集合 对应关系 一个数x,在集合B中都有的 A中的 元素x,B中总有元 FA一→B 数)与之对应 素y与它对应 名称 手A一B为从集合A到集合B的一个函 对应fA一→B为从集合A到集合B的 数 一个映射 记法 y=fx),x∈A 对应：A一B是一个映射 2.函数的三要素： 和 3.相等函数：如果两个函数的 花 完全一致，则这两个函数相等，这是判断 两函数相等的依据。 4.函数的表示法：表示函数的常用方法有： 5.像与原像的概念：在映射：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x 的像.记作f:x→y. 6.一一映射：一一映射是一种特殊的映射，它满足：(1)A中每一个元素在B中都有唯一的 像与之对应：(2)A中的不同元素的像也不同：(3)B中的每一个元素都有原像. (二)函数的定义域： 1.函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 2.常见函数定义域的求法①分式函数中 ②偶次根式函数， ③一次 函数、二次函数的定义域为_④y=a(a>0且a时1)，y=sinx,y=cosx,定义域均为⑤y =anx的定义域为 ⑥函数fx)=x的定义域为 ⑦函数fx)=logx 的定义域为 3.求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出函数 定义域.（注意用区间或集合的形式写出） 4.求抽象函数的定义域： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域由不等式 求 出， (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为 注意：定义域必须写成集合或区间的形式 (三)函数解析式的求法： 1.换元法：若已知f(g(x)的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x)=t,从中解出x =中(t),再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种 方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围 2.待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程（组）， 再求系数， 3.消去法：若所给解祈式中含有f(x)、favs4\al\co1(f(1x))或f(x)、f(-x)等形式， 可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x), 4,配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求 出解析式 (四)分段函数 1.定义：若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用个不同的式子来 表示，这种函数称为分段函数. 2.注意：虽由几个部分组成，但它表示的是 ,其定义域为各段定义域的一， 其值域为各段值域的。分段函数问题分段处理。 (五)函数的值域： (1)在函数y=f(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的 值域. (2)基本初等函数的值域①y=a+b(0)的值域是②y=2+bx十c(a0)的值域是：当 a>0时，值域为：当a<0时，值域为③y=x(k0)的值域是 ④y=严(a>0且a时1)的值域是 ⑤y=logx(a>0且aI)的值域是_⑥y=sin x,y=cosx的值域是·⑦y=tanx的值域是 二.典例精析 题型一：函数与映射的概念及应用 例1：有以下判断：(1)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个；(2)f(x=x2-2x +1与g(t)=t2-2t+1是同一函数：(3)若f(x)=|x-1|-x,则f\avs4\al\col(f\ b\1crc)(avs4al\co1(f(12))=0(4)对于函数：4→B,其值域是集合B其中 正确判断的序号是 变式训练1：给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射：②x)=x一2十2一x是 函数：③函数y=2x∈N)的图像是一条直线：④函数的定义域和值域一定是无限集合其中 真命趣的序号有 题型二：像与原像 例2：(1)已知(x,y)在映射f作用下的像是(x+y,xy).(1)(一2,3)在f作用下的像是 (2,一3)在f作用下的原像是 (2)已知a,b为两个不相等的实数，集合M={a2-4a,一1]，N={b2-4b十1，一2}，f:x 一x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a十b= 变式训练2：(1)已知映射f:A=B={(x,y)x∈R,y∈R},f:(x,y)→(x+2y+2,4x+ y).①求A中元素(5,5)的像：②求B中元素(5,5)的原像. 己知映射f:A→B.其中A=B=R,对应法则f:X→y=一x2十2x,对于实数k∈B,在集合A 中不存在元素与之对应，则k的取值范围