4.5.1 函数的零点与方程的解 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 4 章 指数函数与对数函数 人教A版2019必修第一册 4.5.1 函数的零点与方程的解 01. 零点的定义 02. 零点存在定理 目录 03. 零点的应用 学习目标 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系. 2.会求函数的零点. 3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数. Topic. 01 01 情景导入 情景导入 方程解法时间图 · 中国 公元50年—100年 一次方程、二次方程 和三次方程根 11世纪·北宋·贾宪 三次方程正根数值解法 13世纪·南宋秦九韶 任意次代数方程正根解法 7世纪·隋唐·王孝通 三次或三次以上方程 方程解法时间图 · 西方 一次方程、二次方程 的一般解法 1541年·意大利 塔尔塔利亚 三次方程一般解法 1802～1829 挪威·阿贝尔 证明了五次以上一般方程没有求根公式 记载了费拉里的四次方程一般解法 9世纪·阿拉伯 花拉子米 1545年·意大利 卡尔达诺 解方程的历史 Topic. 02 02 函数零点的定义 函数零点 问题1:方程 (1)x2-2x-3=0 ,(2)x2-2x+1=0 ,(3)x2+2x+3=0的根分别是什么? 方程(1)中,Δ>0,有两个不相等的实根,x1=-1,x2=3; 方程(2)中,Δ=0,有两个相等的实根,x1=x2=1; 方程(3)中,Δ<0,无实根. 函数零点 问题2:方程 (1)x2-2x-3=0 ,(2)x2-2x+1=0 ,(3)x2+2x+3=0的图象与x轴的交点分别是什么? 函数(1)的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0); 函数(2)的图象与x轴的交点坐标为(1,0); 函数(3)的图象与x轴没有交点. 问题3:由问题1和2，方程的根和函数的图象与x轴的交点有什么关系？ 方程的根是函数的图象与x轴交点的横坐标. 函数零点 零点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 问题1:函数的零点是一个点吗？ 零点不是一个点，零点指的是一个实数. 问题2:试归纳函数零点的等价说法？ 方程f(x)=0 有实数根 函数y=f(x) 有零点． 函数y=f(x)的图 象与x轴有公共点 定义理解： 函数零点 常见函数的零点 1个 无   2个         1个 无 无 1个 1个 无 函数零点 (1)代数法： (2)几何法： 若方程 可解，其实数根就是函数的零点.   若方程 难以直接求解，将其改为 ， 进一步改为 ，在同一坐标系中分别画出两个函数 和 的图像，两图像交点的横坐标就是函数 的零点.           求函数零点的方法 函数零点 1.求函数的零点 (1)令 ∴函数的零点为 ( (1) (2) 2.指出下列函数的零点． (1)f(x)＝4x－3；　　　 (2)f(x)＝1＋； (3)f(x)＝x4－1; (4)f(x)＝(lgx)2－lgx. 函数零点 函数零点 Topic. 03 03 零点存在定理 零点存在定理 探究：对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象,发现它在区间[2, 4]上有零点。这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间[-2, 0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系? 再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用 f(x)的取值刻画这种关系的方法. 2 1 1 -2 2 -1 3 4 -1 -2 -3 -4 0 y x 1.在区间(－2,0)上有零点 ;f(－2)= , f(0)= , f(－2).f(0) 0(<或>); 2.在区间(2,4)上有零点 ,f(2).f(4) 0(<或>). 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。 2 1 1 -2 2 -1 3 4 -1 -2 -3 -4 0 y x -1 5 -3 < 3 < 零点存在定理 观察函数的图象并填空: 1.在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)． 在区间(a,b)上______(有/无)零点； 2. 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．