4.4.3不同函数增长的差异 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教Ａ版(2019)必修第一册

第 4 章 指数函数与对数函数 人教A版2019必修第一册 4.4.3 不同函数增长的差异 01. 指数函数与一次函数增长差异 02. 对数函数与一次函数增长差异 目录 03. 不同函数增长差异的应用 学习目标 1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异. 2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。 3.了解函数的建模过程。 Topic. 01 01 复习导入 复习导入 思考：在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？ 复习导入 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. Topic. 02 02 一次函数和指数函数增长差异 不同函数增长差异 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上， 这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异． 不同函数增长差异 探究：以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 ··· ··· ··· y=2x y=2x 不同函数增长差异 观察两个函数图象及其增长方式回答下面问题： 问题1.两图像的交点是什么？ y=2x y=2x (1,2)和(2,4) 问题2.两图像的关系是什么？ 在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上 在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下 在区间(2,+∞)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上 不同函数增长差异 y=2x y=2x 问题3.总结两图像增长变化情况？ 随着x取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x与的增长相比几乎微不足道. 不同函数增长差异 一般地，指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似，即使k的值远远大于a的值，y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度. 因此，总会存在一个x0,当x>x0时，恒有ax>kx. 结论一 注：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长. Topic. 03 03 对数函数和一次函数增长差异 不同函数增长差异 x y=lgx 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 ··· ··· ··· 探究：以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. y=lgx 不同函数增长差异 观察两个函数图象及其增长方式回答下面问题： 问题1.两图像的交点是什么？ (10,1) 问题2.两图像的关系是什么？ 在区间(0,10)上，函数y=lgx的图象位于之上 在区间(10,+∞)上，函数y=lgx的图象位于之下 y=lgx 不同函数增长差异 问题3.总结两图像增长变化情况？ y=lgx 函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增， 但它们的增长速度不同. 在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx 在(0,+∞)上的增长速度在变化. 随着的增大， 的图象离轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与轴平行一样. 不同函数增长差异 探究：如果将lgx放大1000倍，再对函数y=1000lgx和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 不同函数增长差异 一般地，对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似，即使k的值远远小于a的值，y=logax(a>1)的增长速度最终都会慢于y=kx(k>0)的增长速度. 因此，总会存在一个x0,当x>x0时，恒有logax<kx. 结论二 不同函数增长差异 三种函数的性质及增长速度比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与x轴垂直 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝