第一章1 探索勾股定理-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（北师大版）

55 第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 勾股定理:直角三角形两直角边的 等于斜边的 .如果用a,b和c分别表示直 角三角形的两直角边和斜边,那么 . 典例 1 如图,E 是正方形ABCD 内一点, ∠AEB=90°.若 AE=2,BE=3,则正方形 ABCD 的面积为 ( ) 典例1图 A. 10 B. 13 C. 36 D. 169 点拨:在直角三角形中,利用勾股定理求出AB2 即可得出答案. 解答: 解有所悟:勾股定理揭示的是直角三角形的三边关 系,只要知道直角三角形中的任意两条边的长就可 以求出第三条边的长. 典例2 如图,在长方形ACDF 中,AC=DF,点 B 在CD 上,点E 在DF 上,BC=DE=a, AC=BD=b,AB=BE=c,且AB⊥BE. (1) 在探究长方形ACDF 的面积S 时,我们可 以用两种不同的方法:一种是找到长和宽,然后 利用长方形的面积公式,就可以得到S;另一种 是将长方形ACDF 看成是由△ABC,△BDE, △AEF,△ABE 组成的,分别求出它们的面积, 再相加也可以得到S. 请根据以上方法,填空: 方法一:S= ; 方法二:S=S△ABC+S△BDE+S△AEF+S△ABE= ab+12b 2-12a 2+12c 2. (2) 由于(1)中的两种方法表示的都是长方形 ACDF 的面积,因此它们应该相等,请利用以上 结论求a,b,c之间的等量关系. (3) 请直接运用(2)中的结论,当c=10,a=6 时,求S的值. 典例2图 点拨:(1) 根据长方形的面积公式求解;(2) 根 据长方形的面积等于4个三角形的面积和,列 式化简即可;(3) 将a,c的值代入计算可求解b 的值,进而可求解S的值. 解答: 解有所悟:勾股定理的验证方法很多,其中拼图法 (割补法)是最常用的方法.其验证思路:利用同一种 图形面积的不同表示方法列出等式,再利用等式的 性质变形即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 56 典例3 如图,为测量河宽BC,某人选择从点C 处横渡,由于受水流的影响,实际上岸地点A 与欲到达地点B 相距50m,结果发现AC 比河 宽BC 多10m,求河宽BC. 典例3图 点拨:由题意,可知△ABC 为直角三角形,根据 勾股定理就可求出直角边BC 的长. 解答: 解有所悟:在利用勾股定理解决简单的实际问题时, 先将实际问题转化为数学问题,进而构造直角三角 形,利用直角三角形的三边关系计算求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 在△ABC 中,∠A=25°,∠B=65°,则下列 式子成立的是 ( ) A. AC2+AB2=BC2B. AB2+BC2=AC2 C. AC2-BC2=AB2D. AC2+BC2=AB2 2. 图中字母所代表的正方形的面积为175的是 ( ) A B C D 3. 如图,一长为2.5m的梯子斜靠在墙上,梯子 的底端离墙角的距离为1.5m,梯子顶端离 地面的距离h为 ( ) 第3题 A. 1.8m B. 2m C. 2.2m D. 2.4m 4. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平 分线BD 交AC 于点D,若BD=10cm, BC=8cm,则点D 到直线AB 的距离是 ( ) A. 6cm B. 8cm C. 3cm D. 10cm 第4题 第5题 5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,c=2,则a2+ b2+c2= . 6. 如图,货车卸货时支架侧面是Rt△ABC,其 中∠ACB=90°,已知AB=2.5m,AC= 2m,则BC 的长为 m. 第6题 第7题 7. 如图,有一块边长为24米的正方形绿地,在 绿地旁边的点B 处有健身器材,由于居住在 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 57