专题六 巧添辅助线构造基本图形-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（北师大版）

44 专题六　巧添辅助线构造基本图形 在几何问题中,通过已知条件往往很难找到与所求结论之间的关系,在这种情况下,我们就 要通过添加辅助线进行解题.辅助线可以帮助我们揭示图形中隐藏的条件,构造有关性质、判定 的基本图形,从而顺利找到解题思路;可以将两个及两个以上不相关的条件通过变换和转化,使 它们集中到相关图形上来,使题设条件与结论建立逻辑关系,从而推导出要求的结论;可以把复 杂图形分解成简单图形,从而达到化繁为简、化难为易的目的. 类型一 过拐点作平行线 1. 如图,AB∥CD,∠ABE=125°,∠C=30°,则 ∠α的度数为 ( ) A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 第1题 第2题 2. 将一副三角尺和一张对边平行的纸条按如 图所示的方式摆放,两块三角尺的一条直角 边重合,含30°角的三角尺的斜边与纸条的 一边重合,含45°角的三角尺的一个顶点在 纸条的另一边上,则∠1的度数为 ( ) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 第3题 3. 如图,刀柄外形是一个直角 梯形挖去一小半圆,刀刃和 刀背是平行的,转动刀片时 形 成 ∠1,∠2,则 ∠1+ ∠2= . 答案讲解 4. 如图,直 线 CE∥DF,∠CAB= 135°,∠ABD=85°,求∠1+∠2的 度数. 第4题 类型二 在角平分线的两侧构造全等三角形 5. 如图,在△ABC 中,BP 平分∠ABC,AP⊥ BP,垂足为P,连接PC.若△ABC 的面积 为1,则△PBC 的面积为 ( ) 第5题 A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 6. 如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC, ∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,CE⊥ BD,交BD 的延长线于点E.若BD=8,求 CE 的长. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 45 类型三 截长补短构造全等三角形 7. ★如图,AB=AC,∠A=108°,BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 点 D.试 说 明:BC = AB+CD. 第7题 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°, 点P,Q 分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分 别是∠BAC,∠ABC 的平分线.试说明: BQ+AQ=AB+BP. 第8题 9. (河池中考)(1) 如图①,CE 与AB 交于点 E,AC=BC,∠1=∠2.试说明:△ACE≌ △BCE. (2) 如图②,CD 的延长线与AB 交于点E, AD=BC,∠3=∠4.探究AE 与BE 之间的 数量关系,并说明理由. 第9题 类型四 倍长中线构造全等三角形 答案讲解 10. 先阅读材料,再回答问题: 数学活动课上,老师提出了如下 问题: 如图①,在△ABC 中,AD 是边BC 上的中 线.试说明:AB+AC>2AD. 智慧小组的说明方法如下: 如图②,延长AD 至点E,使DE=AD,连 接BE. 因为AD 是边BC 上的中线,所以BD= CD. 在△BDE 和△CDA 中,因为BD=CD, ∠BDE = ∠CDA,DE = DA,所 以 △BDE≌△CDA(依据1). 所以BE=CA. 因为在△ABE 中,AB+BE>AE(依据 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 46 2),AE=2AD, 所以AB+AC>2AD. 任务一:上述说明过程中的“依据1”和“依 据2”分别是指什么? 依据1: ; 依据2: . 归纳总结:上述方法是通过延长中线AD, 使DE=AD,构造了一对全等三角形,将 AB,AC,AD 转化到一个三角形中,进而解 决问题,这种方法叫做“倍长中线法”.“倍 长中线法”多用于构造全等三角形和说明 边之间的关系. 任务二:如图③,AD 是边BC