2.4.1 圆的标准方程（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

2.4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 [学习目标] 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，培养直观想象和逻辑推理的核心素养(重点).2.会根据已知条件求圆的标准方程，强化数学运算的核心素养(难点)． 要点一　圆的定义和标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 思考：若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝c2，则此圆的半径一定等于c吗？ 提示　不一定，圆的半径应为|c|. 要点二　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法如表所示. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标为(1,2)，半径为4.(　　) (4)(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 解析 (1)错误．当m＝0时，该方程表示点(a，b)． (2)正确．如果一个圆的圆心和半径确定了，那么这个圆就唯一确定了． (3)错误．圆心坐标为(－1，－2)，半径为2. (4)错误．将(0,0)代入圆的方程得(0－1)2＋(0－2)2>1，故点在圆外． 答案 (1)×　(2)√　(3)×　(4)× 探究一　圆的标准方程 解题技巧　 (1)用直接法求圆的标准方程的策略 ①确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． ②确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识， 如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等． (2)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 【例题1】 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程． 解析 方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由已知条件得 即解得 所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法二　由点A(2，－3)，B(－2，－5)得线段AB的中点坐标为(0，－4)，kAB＝， 所以线段AB的垂直平分线l′的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0， 解方程组得 所以圆心为(－1，－2)，半径r＝＝.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 【变式1】 已知圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，求圆C的标准方程． 解析 由圆心在直线2x－y－7＝0上，可设圆心C(a，2a－7)．由题意得|AC|＝|BC|， 即＝， 解得a＝2， 所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 探究二　点与圆的位置关系 解题技巧　 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断． 【例题2】 已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并分别判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在圆上、在圆内、还是在圆外？ 解析 设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心坐标为C(4,6)， 又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 由于(5－4)2＋(3－6)2＝10＞5，故点M在圆外； 由于(3－4)2＋(4－6)2＝5，故点N在圆上； 由于(3－4)2＋(5－6)2＝2＜5，故点P在圆内． 【变式2】 已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围． (1)点A在圆的内部； (2)点A在圆上； (3)点A在圆的外部． 解析 (1)因为点A在圆的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－2.5.所以a的取值范围为(－∞，－2.5)． (2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5.所以a的值为－2.5. (3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.所以a的取值范围为(－2.5,0)∪(0，＋∞