2.4.2 圆的一般方程（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

2．4.2　圆的一般方程 [学习目标] 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程，培养直观想象和逻辑推理的核心素养(重点).2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程，强化数学运算的核心素养(难点)． 要点　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 思考：若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？ 提示　①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　　) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则有E≠0.(　　) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 解析 (1)正确．将圆的一般方程配方，可以得到圆的标准方程． (2)错误．当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程． (3)正确．由圆的一般方程的定义可知． (4)正确．由圆的一般方程在形式上的特点可知，任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． 答案 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 探究一　圆的一般方程的概念 解题技巧　 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的两种判断方法 (1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 【例题1】 若方程x2＋y2－2tx＋4y＋2t＋7＝0表示圆，则实数t的取值范围是________. 解析 关于x，y的方程x2＋y2－2tx＋4y＋2t＋7＝0表示圆时，应有4t2＋16－4(2t＋7)>0，解得t<－1或t>3.所以实数t的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 【变式1】 若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________. 解析 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，可化为2＋2＝，故圆心坐标为，半径为. 答案 ， 探究二　求圆的一般方程 解题技巧　 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 【例题2】 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 解析 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，代入各点坐标即得 解得 故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，化为标准方程得(x－1)2＋(y＋1)2＝25.故外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 【变式2】 圆心在x轴上，且经过点A(－1,1)，B(1,3)的圆的一般方程是_____________________________________________________________________． 解析 点A(－1,1)，B(1,3)的中点为(0,2)，因为kAB＝＝1，所以线段AB的中垂线的斜率为－1，所以线段AB中垂线的方程为y－2＝－x，当y＝0时，x＝2，所以圆心为(2,0)，所以圆的半径为＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10，一般方程为x2＋y2－4x－6＝0. 答案 x2＋y2－4x－6＝0 探究三　求动点的轨迹方程 规律总结　 求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明． (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程． 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点． 【例题3】 已知点P(10,0)，Q为圆x2＋y2＝16上一动点．当Q在圆上运动时，则线段PQ的中点M的轨迹方程为________. 解析 设点M的坐标是(x，y)，点Q的