2.2.1 直线的点斜式方程（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 [学习目标] 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，培养数学运算的核心素养(重点).2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 要点　直线的点斜式方程和斜截式方程 方程类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b(直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 思考：直线的斜截式方程与点斜式方程有何联系？ 提示　直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，可化为y＝kx＋(y0－kx0)(其中(y0－kx0)∈R)，即为直线的斜截式方程，即两种形式可以互化，但都不能表示与x轴垂直的直线． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)方程k＝与y－y0＝k(x－x0)表示的意义相同．(　　) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(　　) (3)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0)．(　　) (4)直线l在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离．(　　) (5)所有的直线都有点斜式和斜截式方程．(　　) 解析 (1)错误．方程k＝表示的图形中没有点(x0，y0)． (2)正确．由直线方程的点斜式知，方程y－3＝k(x＋1)表示过点(－1,3)，斜率为k的直线． (3)错误．当直线的斜率存在时，可表示为y－y0＝k(x－x0)；当直线的斜率不存在时，不能表示为点斜式方程，其方程可表示为x＝x0. (4)错误．直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标，而不是距离． (5)错误．垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，即斜率不存在，没有点斜式和斜截式方程． 答案 (1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 探究一　求直线的点斜式方程 误区防错 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【例题1】 根据条件写出下列直线的方程． (1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为30°； (3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°. 解析 (1)因为直线经过点A(－1,4)，斜率k＝－3， 所以点斜式方程为y－4＝－3[x－(－1)]． (2)因为直线经过原点(0,0)，斜率k＝tan 30°＝， 所以点斜式方程为y－0＝(x－0)． (3)因为直线经过点B(3，－5)且与x轴垂直， 所以直线方程为x＝3. 【变式1】 求下列直线的点斜式方程． (1)经过点P(1，－2)，且倾斜角为30°的直线； (2)经过点A(－1,1)，倾斜角是直线y＝x－2的倾斜角的2倍的直线； (3)经过坐标原点，且倾斜角为135°的直线． 解析 (1)由题意知，直线的斜率k＝tan 30°＝， 所以直线的点斜式方程为y＋2＝(x－1)． (2)由题意知，所求直线的倾斜角为120°，则直线的斜率k＝tan 120°＝－.又直线过点A(－1,1)，所以直线的点斜式方程为y－1＝－[x－(－1)]． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以直线的点斜式方程为y－0＝－(x－0)． 探究二　直线的斜截式方程 误区防错 直线的斜截式方程的两点注意 (1)截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是距离，它可以是任意的实数．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0且b≠0时，y＝b表示与x轴平行的直线；当k＝0且b＝0时，y＝0表示与x轴重合的直线． (2)斜截式方程与一次函数的表达式相同，但有区别．当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数．一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程． 【例题2】 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且直线l与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 解析 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距为－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 【变式2】 本例中若将“直线l与l1平行且直线l与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且直线l与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程． 解析 因为l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3， 所以l的斜率为. 因为l与l2在y轴上的截距互为相反数，