1.1.1 空间向量及其线性运算（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

第一章　空间向量与立体几何 1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 [学习目标] 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，培养数学抽象的核心素养(重点).2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，培养逻辑推理的核心素养.3.掌握空间向量的线性运算，培养数学运算和直观想象的核心素养(重点).4.理解并会应用空间向量共线、共面的充要条件，增强逻辑推理、数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养(难点)． 要点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小. 3．表示方法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示； (2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 练习：(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．空间向量与的长度相等 B．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．零向量与任意向量平行 答案　ABD 解析　对于A项，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，正确；对于B项，由相等向量的概念可知命题正确；对于C项，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，错误；对于D项，零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，正确．故选ABD项． 要点二　空间向量的线性运算 1．定义 如图，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： (1)a＋b＝＋＝； (2)a－b＝－＝； (3)当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律(其中λ，μ∈R) (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考：空间向量的加、减法与平面向量的加、减法是否相同？平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗？ 提示　因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内，所以任意两个空间向量的运算都可以转化为平面向量的运算，所以空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同．平面向量加、减法的运算律在空间向量中仍然适用． 要点三　空间中的共线向量 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. 要点四　空间中的共面向量 1．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 2．向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 3．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 思考：若向量p，a，b满足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面吗？ 提示　共面．当a与b共线时，显然向量p，a，b共面；当a与b不共线时，由向量共面的充要条件，可知向量p，a，b共面． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)零向量没有方向．(　　) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(　　) (3)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．(　　) (4)若a＝－b，则|a|＝|b|.(　　) (5)若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同．(　　) 解析 (1)错误．零向量与任意向量共线，故可以认为零向量的方向是任意的． (2)错误．方向相同或相反的向量称为共线向量，与是否有公共终点无关． (3)错误．当λ>0时，λa与向量a的方向相同；当λ<0时，λa与向量a的方向相反． (4)正确．由相反向量的概念可知正确． (5)错误．若两个向量的起点重合，终点不确定，则其