1.2.2 空间向量基本定理的应用（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

第二课时　空间向量基本定理的应用 [学习目标] 通过运用空间向量基本定理，结合数量积运算，能证明空间线面的位置关系及求直线的夹角、两点间的距离(线段长度)，提升逻辑推理和数学运算的核心素养(难点)． 探究一　证明平行或垂直问题 规律总结 (1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定． (2)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明． 【例题1】 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底证明下列问题． (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 证明　由题意可取基底为{，，}． (1)因为＝＋＝＋，＝＋＝2，所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为＝＋＝＋，＝＋＝2，所以∥，又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′.又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C，所以FG∥平面AB′C.又由(1)知EG∥AC，所以EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C. 【变式1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 证明　，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{，，}，＝－＝(＋)－，＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝0，·＝·＝0， 所以A1O⊥DG，A1O⊥BG，又DG，BG⊂平面GBD，BG∩DG＝G，所以A1O⊥平面GBD. 探究二　 求线段的长度问题 解题技巧 求线段长度的方法 (1)将此线段用向量表示； (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得所求距离． 【例题2】 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为(　　) A．5 B． C. D． 答案　B 解析　因为＝＋＋＝＋＋， 所以2＝2＝2＋2＋2＋2，因为AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，所以2＝12＋22＋32＋2×(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°)＝14＋2×＝23.所以||＝，即AC′的长为.故选B项． 【变式2】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则||＝(　　) A.a B.a C.a D.a 答案　A 解析　因为＝－＝＋－＝＋－(＋＋)＝＋－，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥AD，AB⊥AA1，AD⊥AA1，所以·＝·＝·＝0，所以||2＝2＝||2＋||2＋||2＝a2，所以||＝a.故选A项． 探究三　求两直线的夹角问题 解题技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小． (2)由两个向量的数量积定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基底表示出来，进而化简得出a·b的值． (3)直线AB，CD的夹角α∈，而〈，〉∈[0，π]，故α＝〈，〉或α＝π－〈，〉． 【例题3】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值． 解析 由题意可得＝－＝(－)， ＝＋＝－＋， 所以·＝·(－＋)＝2＝， 又＝＝，＝， 所以 cos〈，〉＝ ＝＝， 故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为. 【变式3】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与AC夹角的大小为________. 解析 不妨设正方体的棱长为1， 则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋2＋·＋·＝0＋2＋0＋0＝2＝1， 又因为||＝，||＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. 因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 所以BC1与AC夹角的大小为. 答案 1．在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判断位置关系 答案　C 解析　由题意得＝－，所以·＝·(－)＝·－·＝1×1×－1×1×＝0，故⊥，即直线AB与CD垂直．故选C项． 2．已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥a，BD⊥a，且AB＝1，CD＝，则a，b所成的角为(　　) A．30°