1.3.2 空间向量运算的坐标表示（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标] 1.掌握空间向量运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养(重点).2.掌握空间向量平行与垂直、几何计算的坐标表示，强化数学运算的核心素养(难点).3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养(重点)． 要点一　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 练习：已知向量a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，则a＋2b＝________,3a·(－b)＝________. 解析 由题意得3a＝(3×1,3×1,3×0)＝(3,3,0)，2b＝(2×0,2×1,2×1)＝(0,2,2)，－b＝(－1×0，－1×1，－1×1)＝(0，－1，－1)，所以a＋2b＝(1,1,0)＋(0,2,2)＝(1＋0,1＋2,0＋2)＝(1,3,2)，3a·(－b)＝(3,3,0)·(0，－1，－1)＝3×0＋3×(－1)＋0×(－1)＝－3. 答案 (1,3,2)　－3 要点二　空间向量的平行、垂直、模及夹角 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 2．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若A(1,1,0)，B(2,3,1)，则＝(－1，－2，－1)．(　　) (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　　) (3)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则＝＝.(　　) (4)设a＝(1,2，－1)，b＝(0，m,2)，若a⊥b，则m＝1.(　　) 解析 (1)错误．因为一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以＝(1,2,1)． (2)正确．因为平行四边形的对应边平行且相等，所以向量与的坐标相同． (3)错误．当b1，b2，b3至少有一个为0时不成立． (4)正确．由a⊥b得1×0＋2m－2＝0，解得m＝1. 答案 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　空间向量的坐标运算 解题技巧 空间向量的坐标运算的解题思路及技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等． (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以先求出a＋b，a－b，然后求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． (3)向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解．解题时应恰当选择解题方法． 【例题1】 已知a＝(1,2,3)，b＝(－2，－1,2)，计算下列各式的值． (1)a＋2b；(2)a·b；(3)cos〈a，b〉；(4)|a－b|. 解析 (1)a＋2b＝(1,2,3)＋(－4，－2,4)＝(－3,0,7)． (2)a·b＝(1,2,3)·(－2，－1,2)＝－2－2＋6＝2. (3)cos〈a，b〉＝＝＝. (4)因为a－b＝(1,2,3)－(－2，－1,2)＝(3,3,1)， 所以|a－b|＝＝. 【变式1】 已知a＝(1,2,3)，b＝(3,0，－1)，c＝.给出下列式子：①(a＋b)·c＝a·(b＋c)；②(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2；③(a·b)·c＝a·(b·c)．其中正确的有(　　) A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 答案　B 解析　 ①因为(a＋b)·c＝(4,2,2)·＝－＋2－＝0，a·(b＋c)＝(1,2,3)·＝＋2－＝0，所以(a＋b)·c＝a·(b＋c)；②因为a·b＝3＋0－3＝0，a·c＝－＋2－＝0，b·c＝－＋0＋＝0，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2