1.3.1 空间直角坐标系（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 [学习目标] 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，培养直观想象的核心素养(重点).2.掌握空间向量的正交分解的坐标表示，提升直观想象的核心素养． 要点一　 空间直角坐标系 1．概念：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 思考：空间直角坐标系的三个要素是什么？空间直角坐标系有什么作用？ 提示　空间直角坐标系的三个要素是原点、坐标轴方向和单位长度．空间直角坐标系可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化． 要点二　空间向量的坐标表示 1．点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　) (2)空间直角坐标系中，在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是(a,0,0)的形式．(　　) (3)关于坐标平面Oyz对称的点其横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标相反．(　　) (4)若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．(　　) 解析 (1)错误．空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(a,0,0)的形式． (2)错误．空间直角坐标系中，在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式． (3)错误．关于坐标平面Oyz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反． (4)正确．由点和向量坐标的概念可知正确． 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　求点的坐标 规律总结 求空间一点P的坐标常用的两个方法：一是利用点在坐标轴上的投影求解；二是利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标． 【例题1】 长方体ABCD－A′B′C′D′的长、宽、高分别为AB＝8，AD＝3，AA′＝5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐标． 解析 如图，以A为原点，分别以直线AB，AD，AA′为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则点A，B，C，D都在平面Axy内，因而其竖坐标z都为0，因此A，B，C，D的坐标分别是A(0,0,0)，B(8,0,0)，C(8,3,0)，D(0,3,0)． 由于点A′，B′，C′，D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内．又AA′＝5，所以这四点的竖坐标z都是5.又过A′，B′，C′，D′分别作Axy平面的垂线，垂足分别为A，B，C，D，因此A′，B′，C′，D′的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同．因此A′，B′，C′，D′的坐标分别是A′(0,0,5)，B′(8，0,5)，C′(8,3,5)，D′(0,3,5)． (答案不唯一) 【变式1】 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解析 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为＝2.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0，0，2)． (答案不唯一) 探究二　求向量的坐标 答题模板 用坐标表示空间向量的一般步骤 (1)