2.2.1 不等式及其性质4种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

2.2.1 不等式及其性质4种常见考法归类 1、不等式的定义 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 2、实数大小比较 符号表示 a－b>0⇔a>b， a－b＝0⇔a＝b， a－b<0⇔a<b. 3、不等式的性质 性质1(可加性)　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质2(可乘性)　如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3(可乘性)　如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质4(传递性)　如果a>b，b>c，那么a>c. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中a＝c时必有a＝b且b＝c. 推论1(移项法则)　如果a＋b>c，那么a>c－b. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 我们把a>b和c>d(或a<b和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． 推论3(同向同正可乘性)　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4(可乘方性)　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果a>b>0，那么>. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c<d，则－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d. 4、综合法、分析法与反证法 1．综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法． 2．分析法 从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法． 3．反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法． 注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法． (1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． (2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 5、比较两数大小 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等． 6、用作差法比较两个实数大小的四步曲 注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键． 7、不等式性质的应用 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．　　 8、利用不等式性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．　 9、证明不等式的解题策略 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． 10、不等式的证明方法 (1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； (2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 (3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； (4)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 比较大小 考点二