专题2.3 圆的方程-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.3圆的方程 知识点一 圆的标准方程 1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程 (1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． 3.点与⊙C的位置关系 (1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔； (2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔； (3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔. 知识点二 圆的一般方程 (1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：. ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，； ③若，则方程不表示任何图形． 知识点三 圆的方程综合应用 1. 圆的标准方程为： 2．圆的一般方程．：（）. 3.点到直线的距离：. 考点01 求圆的标准方程 【典例1】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·云南临沧·高二校考期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）圆心在第二象限，半径为3，且与两条坐标轴均相切的圆的标准方程为 ． 【总结提升】 (1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径； (2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程． 考点02 判断点与圆的位置关系 【典例4】【多选题】（2022秋·高二课时练习）下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？ 【规律方法】 点与圆的位置关系的判断方法： (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较； (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上； ③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内． 考点03 圆的标准方程的综合应用 【典例6】【多选题】（2022·高二课时练习）设有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 【典例7】（2023春·安徽阜阳·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为.若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为 . 【典例8】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程． 【规律方法】 确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法． (1)几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程，常用的几何性质有： ①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列：由已知条件，建立关于a、b、r的方程组； ③解：解方程组，求出a、b、r； ④代：将a、b、r代入所设方程，得所求圆的方程． 考点04 二元二次方程与圆的关系 【典例9】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例10】【多选题】（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 【典例11】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为 . 【规律方法】 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解． 考点05 待定系数法求圆的方程 【典例12】（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且