专题22.2 二次函数综合——线段周长问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题22.2 二次函数综合——线段周长问题 【典例1】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【思路点拨】 （1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【解题过程】 （1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 1．（2023·山东潍坊·统考二模）已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标． 2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．    （1）若抛物线过点，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求的面积； （3）若，在抛物线的对称轴上找一点H，使得最小，并求出点H的坐标． 3．（2023·天津河北·统考二模）已知抛物线（为常数），抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若点是抛物线在第一象限内的点，有一点，当时，求的值； （3）在（1）的条件下，连接，点是第一象限内的抛物线上的一动点，过点作于点，连接，当最大时，求的长． 4．（2023秋·云南玉溪·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，若点P是直线上方的抛物线上的一个动点，作于点D，当时，请求出点P横坐标的取值范围． 5．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点，连接． （1）求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式； （2）求证：为直角三角形； （3）在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标． 6．（2023春·天津西青·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，交线段于点H．求的最大值及此时点P的坐标． （3）若点M是抛物线的顶点，在x轴上存在一点N，使的周长最小，求此时点N的坐标． 7．（2023·上海杨浦·统考三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    （1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标； （2）点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 8．（2023·广西防城港·统考二模）如图，已知抛物线与轴交于点和点B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E为第二象限抛物线上一动点，轴与交于F，求的最大值； （3）已知点，，连接．若抛物线向上平移个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围． 9．（2022秋·河南洛阳·九年级河南省洛阳市第二十三中学校考期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；    （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值； （3）若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值． 10．（2023·天津河西·统考一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． （1）若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第