21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【高分突破系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第二十一章 一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1 一元二次方程根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即. （1）当时，原方程有两个不相等的实数根； （1）当时，原方程有两个相等的实数根； （1）当时，原方程没有实数根. 【例】 一元二次方程中的，即方程没有实数根. 2 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程有实数根，，则，. 【例】 一元二次方程中，存在两个实数根，，不解方程也可得，. 【题型1】 一元二次方程根的判别式 【典题1】 关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　) A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 【巩固练习】 1.下列方程没有实数根的是(　　) A．x2+4x＝10 B．3x2+8x﹣3＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．(x﹣2)(x﹣3)＝12 2.关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2＝0根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 3.若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是(　　) A．a≤﹣9 B．a＞﹣9 C．a≥﹣9 D．a≥9 4.若关于x的方程(k﹣1)x2+4x+1＝0有两不相等实数根，则k的取值范围是(　　) A．k≤5 B．k＜5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠1 5.关于x的一元二次方程(m﹣5)x2+2x+2＝0有实根． (1)求m的取值范围． (2)当m取最大整数时，求此方程的根． 6.已知关于x的方程ax2+(a﹣3)x﹣3＝0(a≠0)． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值． 【题型2】 一元二次方程的根与系数的关系 【典题1】 已知m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，则的值是(　　) A． B．3 C．﹣3 D． 【典题2】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(t+1)x+t2+5＝0的两个实数根，若，则t的值是(　　) A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7 【巩固练习】 1.若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是(　　) A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 2.一元二次方程x2+3x+2＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为(　　) A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．13 3.已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和2，则的值为(　　) A．﹣6 B． C． D．6 4.一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为(　　) A． B．﹣3 C．3 D． 5.若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 6.若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值等于(　　) A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 7.若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2． (1)试确定实数m的取值范围； (2)若(x1+2)(x2+2)﹣2x1x2＝17，求m的值． 【A组---基础题】 1.下列二次方程中，有两个不相等的实数根的是(　　) A．x2﹣4x+4＝0 B．﹣x2+6x﹣10＝0 C．x2+3x+9＝0 D．﹣3x2﹣x+4＝0 2.若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则(　　) A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2 D．x1x2＝7 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣b＝0的一个解是x＝﹣1，则方程的另一个解为(　　) A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 4.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是(　　) A．k≥﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k≥﹣1且k≠0 5.已知方程x2+2019x﹣3＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+αβ+2019α的值为(　　) A．1 B．0 C．2019 D．﹣2019 6.已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　． 7.已知a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为　 　． 8.设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　 　． 9.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0 (1)若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根； (2)对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由． 10.已知关于x的一元二次方程(m﹣2)x2﹣2x+1＝0有两个实数根． (1)求m