第64讲 椭圆的标准方程及其性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第64讲 椭圆的标准方程及其性质 1、 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2 叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 ． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为 ； (2)若a＝c，则集合P为 ； (3)若a＜c，则集合P为 ． 2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝ ，r2＝ ； (2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝ ，r2＝ ； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 3、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 对称性 顶点 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系 1、（2022•甲卷（文））已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为　　 A． B． C． D． 2、（2023•甲卷（理））已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则　　 A． B． C． D． 3、（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ． 4、【2022年全国甲卷】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 5、【2021年乙卷文科】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（       ） A． B． C． D．2 6、【2021年乙卷理科】设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 7、【2021年新高考1卷】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ） A．13 B．12 C．9 D．6 8、【2021年甲卷文科】已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 1、设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 2、若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A. (－3，5) B. (－5，3) C. (－3，1) D. (－5，1) 3、椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为(　　) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 4、 已知椭圆＋＝1的离心率为，则实数k的值为________． 5、过点(－3，2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是（ ） 考向一　椭圆的定义及其应用 例1、（1）一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程． （2）求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程． 变式1、(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 （2）△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) 方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求·，通过整体代入可求其面积等 考向二 椭圆的标准方程 例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1) 经过P(－2，0)，Q(0，2)两点； (2) 与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－). 变式1、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)