3.2 基本不等式7种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

3.2 基本不等式7种常见考法归类 1、算术平均数、几何平均数与基本不等式 (1)算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． (2)基本不等式 如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时，等号成立)，我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 2、两个重要的不等式 若a，b∈R，则(1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)． (3)由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 3、基本不等式与最大(小)值 对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.(2)取等号的条件. 注：利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： ①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.注意“1”的代换. 4、对基本不等式的理解 (1)基本不等式≤ (a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系． (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a，b都是非负数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b． 5、利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向. 6、利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：①从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． ②要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系.当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【易错提醒】利用基本不等式证明不等式时，易出现的错误有两个，一是不注意基本不等式的使用条件；二是证明步骤上不完整 7、在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 注：利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性. 8、利用基本不等式求条件最值的常用方法 (1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值. 9、基本不等式变形技巧 （1）基本不等式常见的变形技巧有： ①配凑系数；②变符号；③拆补项． 常见形式有y＝ax＋(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型． （2）多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围． （3）两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到． 10、含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化. 11、利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y. (2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题. (3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值. (4)正确写出答案.