专题13.2 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形之六大题型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题13.2 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形之六大题型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 10 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17 【题型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 29 【题型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 41 【题型六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 50 【典型例题】 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F． (1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________； (2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由． 【变式训练】 1．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上任意一点，点为的中点，过点作交于点．求证：为定值． 2.如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【变式训练】 1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1．如图所示，D为内一点，平分，， ，若，， 求：线段的长．    2．如图，为的角平分线． (1)如图，若于点，交于点，，则______． (2)如图，若，点在上，且，，，求的长；用含、的式子表示 (3)如图，，点在的延长线上，连接，若的面积是，求的面积． 【题型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 例题：已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．    (1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________． (2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由． (3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是． 【变式训练】 1．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EFAD交CA延长线于P，交AB于F，求证： (1)△APF是等腰三角形； (2)BF=CP (3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长． 2．已知：如图1，中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)求证：BE+CF＝EF； (2)若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不需证明） 3．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 已知△ABC． (1)观察发现 如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由 (2)猜想论证 如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由 (3)类比探究 如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明． 【题型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 例题：已知：等边中． (1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值； (2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：． (3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值． 【变式训练】 1．如图，在中，，为延长线上一点，且交于点. (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，为中点，求的长. 2．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如