专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(浙教版）

专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 10 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17 【典型例题】 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F． (1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________； (2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由． 【变式训练】 1．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上任意一点，点为的中点，过点作交于点．求证：为定值． 2.如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 3．在中，，，点O为的中点． (1)若，两边分别交于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　． (2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长． 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【变式训练】 1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 2．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长； (2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接． ①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1．如图所示，D为内一点，平分，， ，若，， 求：线段的长．    2．如图，为的角平分线． (1)如图，若于点，交于点，，则______． (2)如图，若，点在上，且，，，求的长；用含、的式子表示 (3)如图，，点在的延长线上，连接，若的面积是，求的面积． 3．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．    (1)如图1，若平分，，求的值； (2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，连接， ①求证：； ②，，求的值． 4．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 10 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17 【典型例题】 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F． (1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________； (2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，，理由见解析 【分析】（1）连接，