3.3 幂函数（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 重难点 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 重难点题型突破1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）已知幂函数的图像过点，则（       ） A． B． C． D．4 (2)．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练1-1】、（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023·全国·高三专题练习）( 多选题)已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．的单调增区间为 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用 幂函数的图像及其性质的应用 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 例2．（1）、（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）（多选题）已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． （2）．（2023·全国·高三专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【变式训练2-1】、（2023·高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是 ． 【变式训练2-2】、（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较. 例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是 A． B． C． D． 【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设，，，则大小关系是 A． B． C． D． 【变式训练3-2】、（2022秋·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考阶段练习）若，则的取值范围是 ． 重难点题型突破3 幂函数型复合函数 例4．（2022秋·山西·高一校联考阶段练习）已知幂函数在上是减函数，． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练4-1】、（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $$ 3.3 幂函数 重难点 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 重难点题型突破1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院