直线与圆学案-2024届北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《直线与圆》 一、知识点总结 1. 1 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 1. 倾斜角的定义：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0°；当直线与轴垂直时，它的倾斜角为90°. 2. 直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. 注意：直线倾斜角的取值范围是 0°≤α<180°. 二、直线的斜率 1. 若直线的倾斜角为，则α=90°时，直线的斜率不存在；α≠90°时，直线的斜率 . 2. 斜率与倾斜角的对应关系 图示       倾斜角α α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率k k=0 k>0 k不存在 k<0 3. 已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 若x1=x2，则直线的斜率不存在； 若x1≠x2，则直线的斜率 k= 注意：若已知两点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两点的横坐标是否相等”. 4. 直线的方向向量与斜率的关系 (1)当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)； (2)当直线的一个方向向量为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k=. 三、两条直线平行的判定 1. 两条直线(不重合)平行的判定如下表： 第 1 页 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90° 对应关系 1∥2⇔k1=k2 两直线的斜率都不存在⇒1∥2 图示   　　注意：若1，2重合，则仍有k1=k2或1，2的斜率均不存在. 四、两条直线垂直的判定 1. 两条直线垂直的判定如下表： 图示   对应关系 1⊥2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2=-1 1的斜率不存在，2的斜率为0⇒1⊥2 五、倾斜角与斜率的关系及应用 1. 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时，斜率非负，倾斜角越大，斜率越大； (2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时，斜率为负，倾斜角越大，斜率越大； (3)k=tan α的图象如图所示. 由斜率k的范围截取函数图象，进而得到倾斜角α的范围； 反过来，由倾斜角α的范围截取函数图象，进而得到斜率k的范围. 六、直线斜率的应用 1. 若点A，B，C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)；反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)，则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的倾斜角相同，又过同一点A(或B或C)，所以点A，B，C在同一条直线上. 　注意：若点A，B，C中的任意两点所在直线的倾斜角都为90°，且这两条直线有公共点，则A，B，C三点共线. 　2. 形如的范围(最值)问题，可以利用的几何意义(过定点(a，b)与动点(x，y)的直线的斜率)，借助于图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程. 七、两条直线平行、垂直的判定 1. 判断两条不重合的直线是否平行的方法 (1)利用直线的斜率判断： (2)利用直线的方向向量判断：分别求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，得到两直线是否平行的结论. 2. 判断两条直线是否垂直的方法 (1)利用直线的斜率判断：在两条直线都有斜率的前提下，看它们的斜率之积是否等于-1即可. 特别地，当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线也垂直. (2)利用直线的方向向量判断：设直线1的方向向量为n，直线2的方向向量为m，则1⊥2⇔n⊥m⇔n·m=0. 八、两条直线平行、垂直的应用 1. 利用平行、垂直关系求待定参数的值或范围 (1)作出示意图，确定问题中的平行、垂直关系，利用斜率、方向向量等条件列出相关方程(组)并求解. (2)充分分析图形特征，有多种情况的，要分类依次求解. (3)解题时要注意考虑斜率不存在的情况. 1. 2　直线的方程 一、直线的方程形式与适用条件 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b = (x1≠x2，y1≠y2) +=1 (a≠0，b≠0) Ax+By+C=0 (A，B不同时为0) 已知条件 直线上一定点(x0，y0)，斜率k 斜率k，直线在y轴上的截距b 直线上两点 (x1，y1)， (x2，y2) 直线在x轴上的非零截距a，直线在y轴上的非零截距b 系数A，B，C 适用范围 不垂直于x 轴的直线