专题35 导数与函数的极值、最值-备战2024年高考数学一轮复习【考点精析+真题精讲+模拟精练+题型专练】（新高考专用）

专题35 导数与函数的极值、最值 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌模拟精练 ➍专题训练 （新高考） 备战2024高考数学一轮复习 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 专题35 导数与函数的极值、最值 命题解读 命题预测 复习建议 利用导数研究函数的极值、最值是高考必考的重点知识点，已经是解决函数、不等式等问题的主要工具，在高考中常以各种题型出现，对于函数问题中含参问题的研究是高考出现频率较高的，试题难度比较大. 预计2024年的高考利用导数研究函数的极值、最值出题形式以新颖为主，灵活性较强，与函数、不等式等联系比较密切，难度以高档为主。 集合复习策略： 1.利用导数研究函数极值、最值； 2.体会导数与函数极值、最值的关系。 →➊考点精析← 一、　利用导数研究函数的极值 1.函数的极小值: 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.  2.函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.  极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 二、 利用导数研究函数的最值 1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.  →➋真题精讲← 1. （2023全国Ⅱ卷6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 2. （2023北京卷20）设函数，曲线在点处的切线方程为． （3）求的极值点个数． 3.（2023全国Ⅱ卷22） （1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． →➌模拟精练← 1．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数的导函数，且，，则（    ） A．是函数的一个极大值点 B． C．函数在处切线的斜率小于零 D． 2．（2023·广东惠州·统考模拟预测）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______. 3．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）设函数（a，）在区间上总存在零点，则的最小值为________． 4．（2023·广东·统考一模）已知函数. (1)求的极值； (2)当时，，求实数的取值范围. 5.（2023·江苏南通·二模）已知函数． (1)若，，求实数a的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 6．（2023·江苏·二模）已知函数 ． (1)当时，求函数的单调递增区间 (2)若函数在的最小值为，求的最大值． 7．（（2023·广东广州·统考一模）已知，函数. (1)若，证明：当时，： (2)若函数存在极小值点，证明： 8．（2023·广东江门·统考一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线过点，求a的值； (2)证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数； (3)当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值. 9．（2023·广东汕头·统考一模）已知函数． (1)若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 10．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数，，其中为实数. (1)求的极值； (2)若有4个零点，求的取值范围. 11．（2023·广东·高三联考模拟考试）已知定义域为的函数在上的最小值为1. (1)求实数的值； (2)若方程有两个不同的实数根，证明：. 12．（2023·广东揭阳·高三统考）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明. →➍专题训练← 1. 若定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则（ ）. A．函数有1个极大值，2个极小值 B．函数有2个极大值，3个极小值 C．函数有3个极大值，2个极小值 D．函数有4个极大值，3个极小值 2.函数有极值的充分但不必要条件是（ ） A． B． C