第二章 圆与方程（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第二章 圆与方程（知识归纳+题型突破） 1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系． 3．能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 4．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1．圆的概念及标准方程 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径 基本要素 确定一个圆的基本要素是圆心和半径 圆的标准方程 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) (1)圆的标准方程的右端r2>0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． (2)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即半径)． 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 CM＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 CM>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 CM<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 3．圆的一般方程的定义 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫作圆的一般方程． 4．圆的一般方程在形式上的特点 (1)x2和y2的系数相等且不为0； (2)不含xy项． 5．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 方程表示的图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，为半径的圆 6．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其关系如表所示： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0 7．直线与圆的三种位置关系及判定 位置关系 相离 相切 相交 图形 几何法 d与r的大小 d＞r d＝r d＜r 代数法 依据方程组 解的情况 Δ＜0方程组无解 Δ＝0方程组只有一解 Δ＞0方程组有两个不同解 8．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2． 9．圆与圆位置关系的判定方法 (1)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 外切 内切 相交 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| d＝r1＋r2 d＝|r1－r2| |r1－r2|＜d＜r1＋r2 (2)代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 题型一　求圆的标准方程 【例1】　求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程． 思维升华 圆的标准方程的两种求法 (1)几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解——解方程组，求出a，b，r； ④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．　　　 巩固训练 1．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　 ) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 2．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为