第二章 常用逻辑用语（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第二章 常用逻辑用语（知识归纳+题型突破） 1．能结合实例，判断所给语句是不是命题．能找出命题的条件与结论，并判断命题的真假． 2．理解充分条件与必要条件的意义． 3．理解充要条件的意义． 4．理解性质定理、判定定理与充要条件的关系． 5．理解全称量词与存在量词的意义． 6．会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假． 7．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 8．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 1．命题 (1)将可判断真假的陈述句叫作命题．数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． (2)命题的理解：要判断一个语句是不是命题，先看给出的语句是不是陈述句，再看能否判断其真假，也就是判断其是否成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题． 2．定理、定义 (1)有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． (2)定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 3．充分条件、必要条件 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件． 如果qp，那么p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 4．充要条件 (1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p． (2)如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s． 如果p⇔q，q⇔s，则p⇔s． 5．全称量词和全称量词命题 (1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”． (2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：∀x∈M，p(x)． 6．存在量词和存在量词命题 (1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”． (2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，它的一般形式可表示为：∃x∈M，p(x)． 7．命题的否定 p(x)是对语句p(x)的否定，对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”． 8．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是存在量词命题“∃x∈M，p(x)”． (2)存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题“∀x∈M，p(x)”． 题型一　命题与真假命题的判断 【例1】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)所有的质数都是奇数； (4)5x>4x； (5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(6)未来是多么美好啊！ (7)你是高二的学生吗？ (8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数． 思维升华 并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假． 巩固训练： 1．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由． (1)x≥16． (2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根． (3)空集是任何非空集合的真子集． (4)指数函数是增函数吗？ 2．下列命题： ①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形； ④若ac2>bc2，则a>b． 其中是真命题的序号是________． 题型二　命题的条件与结论 【例2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在△ABC中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 思维升华　 命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论． 巩固训练 1．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数． (2)如果x∈A，则x∈A∩B． (3)当x＝2时，x2＋x－6＝0． 2．(多选题)下列说法不正确的是(　　) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四