第28讲 等差数列（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第28讲 等差数列（精讲） 题型目录一览 ①等差数列基本量的计算 ②等差数列的性质及其应用 ③等差数列的前n项和 ④等差数列中中与的关系 ⑤等差数列的判定与证明 一、知识点梳理 一、等差数列的有关概念 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2.等差中项的概念 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 二、等差数列的有关公式 1.等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2.等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 三、等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.通项公式的推广：． 2.在等差数列中，当时，． 3.，…仍是等差数列，公差为． 4.，…也成等差数列，公差为． 5.若，是等差数列，则也是等差数列． 四、等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 【常用结论】 1.等差数列中，若，则． 2.等差数列中，若，则． 3.等差数列中，若，则． 4.若与为等差数列，且前项和为与，则． 二、题型分类精讲 题型一 等差数列基本量的计算 策略方法 解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 【典例1】在等差数列中，，，则201是数列的第几项（    ） A．59 B．60 C．61 D．62 【典例2】在等差数列中，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列满足，，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 3．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在等差数列中，，，则=（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 4．（2023·广西·统考模拟预测）设为等差数列，若，则公差（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 5．（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（    ）． A．3 B．5 C．7 D．9 6．（2023·西藏日喀则·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ） A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文 C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文 7．（2023·全国·高三专题练习）等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列满足，则的前20项和（    ） A．200 B．300 C．210 D．320 二、填空题 9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）在等差数列中，，，则的公差是 ． 10．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ． 11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）等差数列中，，则的值是 . 12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，若，则 ． 13．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列满足：，若为等差数列，则通项公式为 ． 14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 题型二 等差数列的性质及其应用 策略方法 利用等差数列的性质解题的两个关注点 (1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化． (2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．