专题09 立体几何初步-2023年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题09 立体几何初步 目录一览 2023真题展现 考向一 立体几何的体积 考向二 外接球与内切球 考向三 空间角 真题考查解读 近年真题对比 考向一 旋转体 考向二 立体几何的体积 考向三 外接球与内切球 考向四 球体的表面积 考向五 空间角 考点六 直线与平面的位置关系 命题规律解密 名校模拟探源 易错易混速记/二级结论速记 考向一 立体几何的体积 1．（2023•新高考Ⅱ•第14题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　　． 2．（2023•新高考Ⅰ•第14题）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1，则该棱台的体积为　　． 考向二 外接球与内切球 3．（2023•新高考Ⅰ•第12题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（　　） A．直径为0.99m的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体 C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体 考向三 空间角 4．（2023•新高考Ⅱ•第9题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（　　） A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 【命题意图】 考查空间几何体的表面积与体积、外接球问题、空间角等． 【考查要点】 命题会涉及到体积，表面积，角度等计算，涉及到最值计算，范围求取，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力． 【得分要点】 1．表面积与体积公式 （1）棱柱的体积公式：设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h． （2）棱锥的体积公式：设棱锥的底面积为S，高为h，V棱锥Sh． （3）棱台的体积公式：设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h， V棱台． （4）圆柱的体积和表面积公式：设圆柱底面的半径为r，高为h，则． （5）圆锥的体积和表面积公式：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：． （6）圆台的体积和表面积公式：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：． （7）球的体积和表面积：设球体的半径为R，V球体，S球体＝4πR2． 2．外接球题型归类： （1）三线垂直图形 计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体 （2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型： ①三棱锥对棱相等．，，，是三个对棱棱长． ②等边三角形与等腰直角三角形连接． ③投影为矩形． （3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）． 计算公式；其中 （4）面面垂直型 一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型 （5）垂线相交型 等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心． 直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心． 许多情况下，会和二面角结合． 3．直线和平面所成的角： 一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作：作出斜线与射影所成的角． （2）证：论证所作（或找到的）角就是要求的角． （3）算：常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角． （4）答：回答求解问题． 4．线面角的求解方法： 传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得． 向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|． 5．二面角的平面角求法： （1）定义法． （2）三垂线定理及其逆定理． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． （4）平移或延长（展）线（面）法． （5）射影公式． （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角． （7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 ①当0，，θ，，cosθ＝cos，． ②当，π时，cosθ＝﹣cos，． 考向一 旋转体 5．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 考向二 立体几何的体积 5