专题03空间向量及其运算的坐标表示（5个知识点4种题型1个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题03空间向量及其运算的坐标表示（5个知识点4种题型1个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：空间直角坐标系 知识点2：空间直角坐标系中点的坐标 知识点3：空间向量及其运算的坐标表示 知识点4：空间向量的平行、垂直及模、夹角的坐标表示 知识点5：空间两点间的距离公式 【方法二】 实例探索法 题型1：空间向量的坐标表示 题型2：空间向量的坐标运算 题型3：利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题（高频考点） 题型4：空间向量的夹角和距离的问题（高频考点） 【方法三】 差异对比法 易错点：不能正确建立空间直角坐标系解决立体几何问题 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【例1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标． 【变式】（2022秋•怀柔区期末）若点A（1，2，3），点B（4，﹣1，0），且，则点C的坐标为（　　） A．（3，0，1） B．（2，1，2） C． D． 知识点2：空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【例2】在平面直角坐标系中，点P（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下： （1）关于原点的对称点是P＇（－x，－y）； （2）关于轴的对称点是P＂（x，－y）； （3）关于轴的对称点是P（－x，y）． 那么，在空间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为： ①关于原点的对称点是P1________； ②关于横轴（x轴）的对称点是P2________； ③关于纵轴（y轴）的对称点是P3________； ④关于竖轴（z轴）的对称点是P4________； ⑤关于xOy坐标平面的对称点是P5________； ⑥关于yOz坐标平面的对称点是P6________； ⑦关于zOx坐标平面的对称点是P7________． 【变式】在空间直角坐标系O—xyz，点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点是（ ） A．（―1，2，3） B．（―1，―2，3） C．（1，2，―3） D．（1，―2，―3） 知识点3：空间向量及其运算的坐标表示 空间向量坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【例3】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标． 知识点4：空间向量的平行、垂直及模、夹角的坐标表示 1.空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 2.空间向量的夹角与长度问题 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 【例4】已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)若，且分别与，垂直，求向量的坐