专题12 平面解析几何（解答题）-大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题分类汇编（北京卷）

大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题（北京卷） 专题12平面解析几何（解答题） 1．【2023年北京卷19】已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 2．【2022年北京卷19】已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 3．【2021年北京20】已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围． 4．【2020年北京卷20】已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 5．【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点． 6．【2019年北京理科18】已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 7．【2018年北京理科19】已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值． 8．【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值； （Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（，）共线，求k． 9．【2017年北京理科18】已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点． （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点． 10．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 11．【2016年北京理科19】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值． 12．【2016年北京文科19】已知椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 13．【2015年北京理科19】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M． （Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）； （Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由． 14．【2015年北京文科20】已知椭圆C：x2+3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M． （1）求椭圆C的离心率； （2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率； （3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由． 15．【2014年北京理科19】已知椭圆C：x2+2y2＝4， （1）求椭圆C的离心率 （2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2＝2的位置关系，并证明你的结论．