专题10 立体几何与空间向量（解答题）-大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题分类汇编（北京卷）

大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题（北京卷） 专题10立体几何与空间向量（解答题） 1．【2023年北京卷16】如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 2．【2022年北京卷17】如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 3．【2021年北京17】已知正方体，点为中点，直线交平面于点． （1）证明：点为的中点； （2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 4．【2020年北京卷16】如图，在正方体中，E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 5．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； （Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 6．【2019年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且． （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值； （Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 7．【2018年北京理科16】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC，AC＝AA1＝2． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交． 8．【2018年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD． 9．【2017年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD，AB＝4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 10．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD； （2）求证：平面BDE⊥平面PAC； （3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积． 11．【2016年北京理科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD． （Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 12．【2016年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC． （1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC； （3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由． 13．【2015年北京理科17】如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点． （Ⅰ）求证：AO⊥BE． （Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值； （Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值． 14．【2015年北京文科18】如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点． （1）求证：VB∥平面MOC； （2）求证：平面MOC⊥平面VAB （3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 15．【2014年北京理科17】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H． （1）求证：AB∥FG； （2）若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长． 16．【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底